欧姆定律

在电路学里，欧姆定律（英语：Ohm's law）表明：定温下，电导体两端的电压 $V$与通过电导体的电流 $I$ 成正比。数学表达式为：

欧姆定律的参数是$V$、$I$、$R$。

$V\propto I$

因此，对于任意电导体（电路、电路元件、甚至电阻器），电阻 $R$ 可定义为此正比关系的比例常数：

$R\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {V}{I}}$

且可得到下列方程：

$V=IR$

不论电流、电压为何，电阻定义均为电压除以电流。此外，任何电导体都有电阻，即使超导体在一般温度下也具有微小的电阻。

然而并不是每一种元件都遵守欧姆定律，此定律是经过多次实验而推断的法则，只有在理想状况下，才会成立。凡是遵守欧姆定律的元件或电路都称为“欧姆元件”或“欧姆电路”或“欧姆式导体”，其电阻与电流、电压的变动无关；不遵守欧姆定律的元件或电路称为“非欧姆元件”或“非欧姆电路”或“非欧姆式导体”，其电阻可能会与电流、电压的变动有关。

欧姆定律是因德国物理学家格奥尔格·欧姆命名。于1827年，在他发表的一本通论《直流电路的数学研究》（The galvanic Circuit investigated mathematically）里，他详细的论述简单电路两端的电压与流动于电路的电流之间的关系。他所论述的关系比较复杂，稍后会有更详细说明。上述方程乃是欧姆定律的现代版本。

对于电阻物质或导电物质，欧姆定律可以推广为：

$\mathbf {E} =\rho \mathbf {J}$

$\mathbf {J} =\sigma \mathbf {E}$

其中，$\mathbf {E}$是电场，$\mathbf {J}$是物质的电流密度，$\rho$是物质的电阻率，$\sigma =1/\rho$是物质的电导率。

遵守欧姆定律的物质，称为“欧姆物质”，其电阻率$\rho$和电导率$\sigma$与电流密度、电场无关。

历史

格奥尔格·欧姆。

早于1753年，意大利物理学家乔凡尼·贝卡立亚就在研究物质的导电性质。他在电路里加装了盛满了水的玻璃管。当开启电路后，发现玻璃管的截面面积越大，电流的放电强度越大。

英国物理学家亨利·卡文迪什也曾做过很多实验，研究电动势、电流、电阻之间的关系。他使用莱顿瓶为电流源，将电流通过在各种尺寸的玻璃试管里盛装的盐溶液，靠着调整盐溶液的高度，他可以控制放电强度。卡文迪什把自己身体当作一台生理检流计，从亲身体验被电击后的感觉，来估计电流的放电强度。他又选择出一个装满盐溶液的玻璃试管为标准，然后比较标准放电与试样放电，按照放电强度的大小来估计它们的电阻。这样，他可以定量地描述每一种试样。于1781年1月，他记录在笔记里，电流与电动势成正比。但是，他并没有将这些珍贵的实验结果告诉任何科学家。一直到麦克斯韦于1879年替他编辑注释为著作《卡文迪什的电学研究》（The electrical researches of the Honourable Henry Cavendish）后，才见诸世面。注意到卡文迪什使用的仪器相当原始粗陋，靠身体感觉很难做出精准的测量，莱顿瓶并不是稳定电流源。所以，学术界认为这耽搁了近百年的实验结果并不足以证实欧姆定律。

从1825年到1826年之间，欧姆做了很多关于电阻的实验。于1827年，他将得到的结果一同发表在著作《直流电路的数学研究》（The galvanic Circuit investigated mathematically）里。他从傅里叶对于热传导的研究得到了相当多的灵感，借用了很多傅里叶的点子来论述自己的结果。

欧姆是一位优秀的实验者，很会设计与制造实验设备，又具有精湛的数学修养与严谨的敬业态度。刚开始，他使用伏打电堆为电源，用安装于扭秤（torsion balance）的磁针来测量电流的磁场力。载流导线的电流所产生的磁场与电流成正比，只要测量在载流导线附近的磁针所感受到的磁场力，就可以知道电流。他将电流通过不同长度的检验电线；由于长度不同，电阻也不同。欧姆仔细分析实验结果，得到经验方程

$\Delta I=m\ln \left(1+{\frac {x}{a}}\right)$

其中，$\Delta I$是检验电线造成的电流差值，$m$是跟实验参数有关的系数，$x$是检验电线的长度，$a$是跟固定长度的载流导线有关的常数。

欧姆的实验设备。由于温差，热电偶会产生电动势，促成电流流动于电阻电路。这电流又会产生磁场，使得固定于扭秤的磁针偏转。从读取磁针偏转的角度，就可以知道电流。

欧姆很快地就觉得这方程不太对劲。大约三年前，汤玛斯·泽贝克发明使用热电偶为电源。这种电源比伏打电源稳定。采纳《物理与化学年鉴》的总编辑约翰·波根多夫（Johann poggendorff）的建议，欧姆改用热电偶为电源，将实验重做一遍，得到经验方程：

$X={\frac {a}{b+x}}$

其中，$X$是扭秤读值，$a$是跟电动势有关的常数，$b$是跟内部电阻有关的常数，$x$是检验电线的长度。

仔细诠释这些变量，将$X$、$a$、$b$、$x$分别诠释为电流$I$、电压$V$、内部电阻$r$、检验电阻$R_{x}$，那么，假定总电阻$R$为$r+R_{x}$则经验方程变为欧姆定律的现代方程版本：

$I={\frac {V}{R}}$

欧姆定律可能是早期电学史最重要的定量理论。但是，当欧姆最初发表他的结果时，很多学术界同仁都激烈地批评反对他的理论。德国教育部长指责：“鼓吹这种异端邪说的教授不配教导科学。”物理教授格奥尔格·魄尔（Georg Pohl）这样批评欧姆的著作：“以崇高眼光仰看这世界的人士，必须远离这本无可救药、妄生穿凿的谬书，其唯一目的乃是彻底诋毁大自然的尊严。”。那时候，德国正盛行的黑格尔哲学认为，因为大自然井井有序，而且只要经过合理推论就可获得科学真理，所以，并不需要靠做实验来了解大自然。欧姆的实验方法可能引起了黑格尔门徒的强烈反感。

1839年，法国物理学家，克劳德·普雷特（Claude Pouillet）确定欧姆的实验结果。同时，欧姆成为柏林科学院的院士。在英国，查尔斯·惠斯通又重新核对了欧姆的实验结果。1841年，欧姆被选为皇家学会的外籍会员。1852年，欧姆荣膺为慕尼黑大学的物理学系主任。

于1920年，物理学家发现，通过理想电阻器的电流会出现统计涨落，虽然当电压和电阻为常数时，统计涨落会跟温度有关。这种涨落称为詹森-奈奎斯特噪音（Johnson–Nyquist noise），是因为电荷的离散秉性而产生的现像。这热效应意味着，假若取样的时间间隔足够短暂，电流或电压的测值，其比例跟时间平均比例或系综平均（ensemble average）比例相比较，会出现涨落；也就是说，每一个电阻$R$的取样值，跟$R$的时间平均或系综平均相比较，会出现涨落。对于普通电阻物质案例，经过平均程序后，欧姆定律仍旧正确无误。

欧姆对于电阻的研究在麦克斯韦方程组出现之前很久，那时科学家对于交流电路的频率相关效应也不了解。但是，在适当范围内，现代电磁理论与现代电路理论并没有发现任何与欧姆定律相悖之处。

水力学类比

欧姆定律可以用水力学类比（hydraulic analogy）来描述。测量单位为帕斯卡的水压，可以类比为电压。在一根水管里，由于任意两点之间的水压差会造成水流，水的流速（单位是升每秒），可以类比为电流（单位是库仑每秒）。“流量限制器”是安装于水管与水管之间控制流量的阀门，可以类比为电阻器。通过流量限制器的水流流量，跟流量限制器两端的水压成正比，类似地，通过电阻器的电荷流量（电流），跟电阻器两端的电压成正比。这正是欧姆定律的论述。

流体流动网络的流量和流压可以用水力学类比方法来计算。这方法可以应用于稳定流和暂态流（transient flow）。对于线性层流，泊肃叶定律（Poiseuille's law）描述水管的水阻，但是对于湍流，流压-流量关系变为非线性。

热力学类比

参见：热传导

设定电导体的电导率与两端的电压，欧姆定律可以预测出通过这电导体的电流密度。类似地，设定热导体的热导率与两端的温差，约瑟夫·傅里叶的热传导定律可以预测通过这热导体的热流。同样的方程形式可以描述这两种现象。对于每一种案例，方程的变量有不同的意义。具体而言，欧姆定律的方程为：

$\mathbf {J} =-\sigma \nabla V$

而热传导定律的方程为：

${\boldsymbol {\Gamma }}=-k\nabla T$

其中，${\boldsymbol {\Gamma }}$是热通量（heat flux），$k$是导热体的热导率，$T$是温度。

思考参数为温度、热导率与热通量的热传导问体，和参数为电压、电导率与电流密度的电传导问体。这两个问题相互等价。假若能够解析一个热传导问体，则也能够解析电传导问题；反之亦然。

电路分析

在电路学里，电阻器（欧姆电阻器）是一种电路元件，其电阻与电压、电流无关。电阻器可以按照欧姆定律阻抗电荷的通过。每一个电阻器都有其设计制成的电阻$R$。更严格地说，电阻器是在某操作域内遵守欧姆定律的电路元件；欧姆定律和唯一电阻值足够描述这元件在相关操作域的行为。

串联电阻电路

$n$个电阻器串联形成的电路。

串联电阻的总电阻等于各个电阻之和，以方程表示，

$R_{\mathrm {total} }=R_{1}+R_{2}+\cdots +R_{n}$

其中，$R_{n}$是第$n$个电阻，$R_{\mathrm {total} }$是总电阻。

假设在电路两端的电压为$V$，则通过的电流为$I={V}/{R_{total}}$。假设每一个电阻器都遵守欧姆定律，则这电路是电阻为$R_{\mathrm {total} }$的欧姆电路。

并联电阻电路

$n$个电阻器并联形成的电路。

相互并联的电阻，其总电阻的倒数等于其每个电阻的倒数和，以方程表示：

${1 \over R_{\mathrm {total} }}={1 \over R_{1}}+{1 \over R_{2}}+\cdots +{1 \over R_{n}}$

假设在电路两端的电压为$V$，则通过的电流为$I={V}/{R_{total}}$。假设每一个电阻器都遵守欧姆定律，则这电路是电阻为$R_{\mathrm {total} }$的欧姆电路。

周期性激发

电容器、电感器、传输线等等，都是电路的电抗元件。假设施加周期性电压或周期性电流于含有电抗元件的电路，则电压与电流之间的关系式变成微分方程。因为欧姆定律的方程只涉及实值的电阻，不涉及可能含有电容或电感的复值阻抗，所以，前面阐述的欧姆定律不能直接应用于这状况。

最基本的周期性激发，像正弦激发或余弦激发，都可以用指数函数来表达：

$\sin {\omega t}={\frac {1}{2j}}(e^{j\omega t}-e^{-j\omega t})$

$\cos {\omega t}={\frac {1}{2}}(e^{j\omega t}+e^{-j\omega t})$

其中，$j$是虚数单位，$\omega$是实值角频率，$t$是时间。

假设周期性激发为单频率正弦激发，其角频率为$\omega$。电阻为$R$的电阻器，其阻抗${Z}$为：

${Z}=R$

电感为$L$的电感器，其阻抗为：

${Z}=j\omega L$

电容为$C$的电容器，其阻抗为：

${Z}=1/j\omega C$

电压${V}$与电流${I}$的关系式为：

${V}={I}{Z}$

注意到将阻抗${Z}$替代电阻$R$，就可以得到这欧姆定律方程的推广。只有${Z}$的实值部分会造成热能的耗散。

对于这系统，电流和电压的复值波形式分别为：

${I}={I}_{0}e^{j\omega t}$

${V}={V}_{0}e^{j\omega t}$

电流和电压的实值部分$real({I})$、$real({V})$分别描述这电路的真实正弦电流和正弦电压。由于${I}_{0}$、${V}_{0}$都是不同的复值标量，电流和电压的相位可能会不一样。

周期性激发可以傅里叶分解为不同角频率的正弦函数激发。对于每一个角频率的正弦函数激发，可以使用上述方法来计算响应。然后，将所有响应总和起来，就可以得到解答。

线性近似

电流对电压线图。理想电阻器和PN接面二极管的V-I线分别以红色和黑色显示。

欧姆定律是电路分析（circuit analysis）使用的几个基本方程之一。它可以应用于金属导电体或特别为这行为所制备的电阻器。在电机工程学里，这些东西无所不在。遵守欧姆定律的物质或元件称为“欧姆物质”或“欧姆元件”。理论上，不论施加的电压或电流、不论是直流或交流、不论是正极或负极，它们的电阻都不变。

但是，有些电路元件不遵守欧姆定律，它们的电压与电流之间的关系（V-I线）乃非线性关系。PN接面二极管是一个显明范例。如右图所示，随着二极管两端电压的递增，电流并没有线性递增。给定外电压，可以用V-I线来估计电流，而不能用欧姆定律来计算电流，因为电阻会因为电压的不同而改变。另外，只有当外电压为正值时，电流才会显著地递增；当施加的电压为负值时，电流等于零。对于这类元件，V-I线的斜率${\mathfrak {r}}$，称为“小信号电阻”（small-signal resistance）、“增量电阻”（incremental resistance）或“动态电阻”（dynamic resistance），定义为

${\mathfrak {r}}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} I}}$

单位也是欧姆，是很重要的电阻量，适用于计算非欧姆元件的电性。

温度效应

詹姆斯·麦克斯韦诠释欧姆定律为，处于某状态的导电体，其电动势与产生的电流成正比。因此，电动势与电流的比例，即电阻，不会随着电流而改变。在这里，电动势就是导电体两端的电压。参考这句引述的上下文，修饰语“处于某状态”，诠释为处于常温状态，这是因为物质的电阻率通常跟温度有关。根据焦耳定律，导电体的焦耳加热（Joule heating）与电流有关，当传导电流于导电体时，导电体的温度会改变。电阻对于温度的相关性，使得在典型实验里，电阻跟电流有关，从而很不容易直接核对这形式的欧姆定律。于1876年，麦克斯韦与同事，共同设计出几种测试欧姆定律的实验方法，能够特别凸显出导电体对于加热效应的响应。

其它版本的欧姆定律

在电机工程学和电子工程学里，欧姆定律妙用无穷，因为它能够在宏观层次表达电压与电流之间的关系，即电路元件两端的电压与通过的电流之间的关系。在物理学里，对于物质的微观层次电性质研究，会使用到的欧姆定律，以矢量方程表达为：

$\mathbf {E} =\rho \mathbf {J}$

$\mathbf {J} =\sigma \mathbf {E}$

处于均匀外电场的均匀截面导电体（例如，电线）。

在导体内任意两点g、h，定义电压为将单位电荷从点g移动到点h，电场力所需做的机械功：

$V_{gh}{\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} q}}=\int _{g}^{h}{\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }=\rho \int _{g}^{h}{\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }$

其中，$V_{gh}$是电压，$w$是机械功，$q$是电荷量，$\mathrm {d} \mathbf {l}$是微小线元素。

假设，沿着积分路径，电流密度$\mathbf {J} =J{\hat {\mathbf {l} }}$为均匀电流密度，并且平行于微小线元素：

$\mathrm {d} \mathbf {l} =\mathrm {d} l{\hat {\mathbf {l} }}$

其中，${\hat {\mathbf {l} }}$是积分路径的单位矢量。

那么，可以得到电压：

$V_{gh}=J\rho l$

其中，$l$是积分路径的径长。

假设导体具有均匀的电阻率，则通过导体的电流密度也是均匀的：

$J=I/a$

其中，$a$是导体的截面面积。

电压$V_{gh}$简写为$V$。电压与电流成正比：

$V=V_{gh}=I\rho l/a$

总结，电阻与电阻率的关系为：

$R=\rho l/a$

假设$J>0$，则$V>0$；将单位电荷从点g移动到点h，电场力需要作的机械功$w>0$。所以，点g的电势比点h的电势高，从点g到点h的电势差为$-V$。从点g到点h，电压降是$V$；从点h到点g，电压升是$V$。

给予一个具有完美晶格的晶体，移动于这晶体的电子，其运动等价于移动于自由空间的具有有效质量（effective mass）的电子的运动。所以，假设热运动足够微小，周期性结构没有偏差，则这晶体的电阻等于零。但是，真实晶体并不完美，时常会出现晶体缺陷（crystallographic defect），有些晶格点的原子可能不存在，可能会被杂质侵占。这样，晶格的周期性会被扰动，因而电子会发生散射。另外，假设温度大于绝对温度，则处于晶格点的原子会发生热震动，会有热震动的粒子，即声子，移动于晶体。温度越高，声子越多。声子会与电子发生碰撞，这过程称为晶格散射（lattice scattering）。主要由于上述两种散射，自由电子的流动会被阻碍，晶体因此具有有限电阻。

凝聚态物理学研究物质的性质，特别是其电子结构。在凝聚态物理学里，欧姆定律更复杂、更广义的方程非常重要，属于本构方程（constitutive equation）与运输系数理论（theory of transport coefficients）的范围。

经典微观表述

在德鲁德模型里，电子（以蓝色表示）不停地在固定不动的导电体离子（以红色表示）之间移动与碰撞。假若施加电场于导电体，则电子的平均移动速度（称为漂移速度）不等于零。电子的漂移速度方向与电场方向相反。

主条目：德鲁德模型

当施加外电场于导电体时，电流密度的响应，基本上是属于量子力学性质。详尽细节，请参阅经典与量子电导率（classical and quantum conductivity）。保罗·德鲁德于1900年研究出的德鲁德模型，可以用经典物理解释欧姆定律，描述自由电子移动于金属导电体的物理行为 。

在德鲁德模型里，自由电子会不停地移动碰撞于固定不动、组成整个金属导电体晶格的正价离子之间。金属里的每一个自由电子，感受到电场力的作用，会呈加速运动。但是每当自由电子与晶格发生碰撞，其动能会遭受损失，以热能的形式将能量释放给离子，所以，电子的平均移动速度是漂移速度，其漂移速度的方向与电场方向相反。

电子感受到的平均电场力$\mathbf {F} _{ave}$为：

$\mathbf {F} _{ave}=-e\mathbf {E} _{ave}$

其中，$\mathbf {E} _{ave}$是平均电场，$e$是单位电荷量。

德鲁德计算出漂移速度$\mathbf {v} _{d}$为：

$\mathbf {v} _{d}=-e\mathbf {E} _{ave}\tau /m$

其中，$\tau$是平均自由时间（mean free time），是碰撞之间的平均时间间隔，$m$是电子的质量。

在金属里，电荷载子为电子，所以电流密度与漂移速度的关系为：

$\mathbf {J} =-ne\mathbf {v} _{d}=ne^{2}\tau \mathbf {E} _{ave}/m$

其中，$n$是电子密度。

假设电场是均匀电场，$\mathbf {E} =\mathbf {E} _{ave}$，设定电阻率为：

$\rho ={\frac {m}{ne^{2}\tau }}$

则电场与电流密度的关系为：

$\mathbf {E} =\rho \mathbf {J}$

注意到漂移速率$v_{d}$超小于热速率$v_{t}$，

${\frac {1}{2}}mv_{t}^{2}={\frac {3}{2}}k_{B}T$

其中，$k_{B}$是玻尔兹曼常数，$T$是温度。

因此，平均自由时间与热速率有关，与漂移速率无关，所以平均自由时间也与电流密度、电场无关。质量、电子密度、单位电荷，都与电流密度、电场无关。总结，电阻率与电流密度、电场无关。

磁效应

前面得到的答案只成立于导电体的参考系。在经典电磁学里，假设处于磁场$\mathbf {B}$的导电体，以相对速度$\mathbf {v} _{0}$移动于磁场的参考系${\mathcal {S}}$，则电子感受到的平均洛伦兹力$\mathbf {F} _{ave}$为：

$\mathbf {F} _{ave}=-e(\mathbf {E} _{ave}+\mathbf {v} _{0}\times \mathbf {B} _{ave})$

漂移速度$\mathbf {v} _{d}$为：

$\mathbf {v} _{d}=-e(\mathbf {E} _{ave}+\mathbf {v} _{0}\times \mathbf {B} _{ave})\tau /m$

电场与电流密度的关系为：

$\mathbf {J} =-ne\mathbf {v} _{d}=ne^{2}\tau (\mathbf {E} _{ave}+\mathbf {v} _{0}\times \mathbf {B} _{ave})/m$

所以，欧姆定律的形式推广为：

$\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} =\rho \mathbf {J}$

常见错误

不少人会认为欧姆定律是在说明

$V=iR$

实际上，上式只是电阻的定义，而欧姆定律所主张的是任何物件都会满足

$V\propto i$

是一个错误的主张。（仅对部分欧姆式导体正确）

参阅

• 薄膜电阻
• 菲克扩散定律
• 霍普金森定律（Hopkinson's law，静磁学的欧姆定律）