自然对数
自然对数(英语:Natural logarithm)为以数学常数e为底数的对数函数,标记作或,其反函数为指数函数。[注 1]
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自然对数积分定义为对任何正实数,由 到 所围成, 曲线下的面积 。如果小于1,则计算面积为负数。
则定义为唯一的实数 使得 。
历史
编辑十七世纪
编辑约翰·纳皮尔在1614年[3]以及约斯特·比尔吉在6年后[4],分别发表了独立编制的对数表,当时通过对接近1的底数的大量乘幂运算,来找到指定范围和精度的对数和所对应的真数。当时还没出现有理数幂的概念,按后世的观点,约翰·纳皮尔的底数0.999999910000000相当接近 [5],而约斯特·比尔吉的底数1.000110000相当接近自然对数的底数 。实际上不需要做开高次方这种艰难运算,约翰·纳皮尔用了20年时间进行相当于数百万次乘法的计算,亨利·布里格斯建议纳皮尔改用10为底数未果,他用自己的方法[6]于1624年部分完成了常用对数表的编制。
形如 的曲线都有一个代数反导数,除了特殊情况 对应于双曲线的弓形面积,即双曲线扇形;其他情况都由1635年发表的卡瓦列里弓形面积公式给出[7],其中抛物线的弓形面积由公元前3世纪的阿基米德完成(抛物线的弓形面积),双曲线的弓形面积需要发明一个新函数。1647年圣文森特的格列高利将对数联系于双曲线 的弓形面积,他发现x轴上 两点对应的双曲线线段与原点围成的双曲线扇形同 对应的扇形,在 时面积相同,这指出了双曲线从 到 的积分 满足[8]:
1649年,萨拉萨的阿尔丰斯·安东尼奥将双曲线下的面积解释为对数。大约1665年,伊萨克·牛顿推广了二项式定理,他将 展开并逐项积分,得到了自然对数的无穷级数。“自然对数”最早描述见于尼古拉斯·麦卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中[9],他也独立发现了同样的级数,即自然对数的麦卡托级数。
十八世纪
编辑大约1730年,欧拉定义互为逆函数的指数函数和自然对数为[10][11]:
形式定义
编辑正式定义为积分,
这个函数为对数是因满足对数的基本性质:
这可以通过将定义了 的积分拆分为两部分,并在第二部分中进行换元 来证实:
幂公式 可如下推出:
第二个等式使用了换元 。
自然对数还有在某些情况下更有用的另一个积分表示:
性质
编辑- (参见复数对数)
证明
导数
编辑自然对数的导数为
证明一 (微积分第一基本定理):
设
设
用自然对数定义的更一般的对数函数, ,根据其逆函数即一般指数函数的性质,它的导数为[13][14]:
根据链式法则,以 为参数的自然对数的导数为
幂级数
编辑自然对数的导数性质导致了 在0处的泰勒级数,也叫做麦卡托级数:
-
- 对于所有 但不包括
把 代入 中,可得到 自身的级数。通过在麦卡托级数上使用欧拉变换,可以得到对绝对值大于1的任何 有效的如下级数:
这个级数类似于贝利-波尔温-普劳夫公式。
还要注意到 是自身的逆函数,所以要生成特定数 的自然对数,简单把 代入 中。
-
- 对于
自然数的倒数的总和
叫做调和级数。它与自然对数有密切联系:当 趋于无穷的时候,差
积分
编辑自然对数通过分部积分法积分:
假设:
所以:
自然对数可以简化形如 的函数的积分: 的一个原函数给出为 。这是基于链式法则和如下事实:
换句话说,
且
例子
编辑下面是 的例子:
设 且 :
与双曲函数的关系
编辑在18世纪,约翰·海因里希·兰伯特介入双曲函数[17],并计算双曲几何中双曲三角形的面积[18]。对数函数是在直角双曲线 下定义的,可构造双曲线直角三角形,底边在线 上,一个顶点是原点,另一个顶点在双曲线。这里以自然对数即双曲角作为参数的函数,是自然对数的逆函数指数函数,即要形成指定双曲角 ,在渐近线即x或y轴上需要有的 或 的值。显见这里的底边是 ,垂线是 。
连分数
编辑这些连分数特别是最后一个对接近1的值快速收敛。但是,更大的数的自然对数,可以轻易的用这些更小的数的自然对数的加法来计算,带有类似的快速收敛。
例如,因为 ,2的自然对数可以计算为:
进而,因为 ,10的自然对数可以计算为:
复数对数
编辑指数函数可以扩展为对任何复数 得出复数值为 的函数,只需要简单使用 为复数的无穷级数;这个指数函数的逆函数形成复数对数,并带有正常的对数的多数性质。但是它涉及到了两个困难: 不存在 使得 ;并且有着 。因为乘法性质仍适用于复数指数函数, ,对于所有复数 和整数 。
所以对数不能定义在整个复平面上,并且它是多值函数,就是说任何复数对数都可以增加 的任何整数倍而成为等价的对数。复数对数只能在切割平面上是单值函数。例如, 或 或 等等;尽管 , 不能定义为 或 或 ,以此类推。
- 自然对数函数在复平面(主分支)上的绘图
-
z = Re(ln(x+iy))
-
前三图的叠加
主值定义
编辑对于每个非0复数 ,主值 是虚部位于区间 内的对数。表达式 不做定义,因为没有复数 满足 。
要对 给出一个公式,可以先将 表达为极坐标形式, 。给定 ,极坐标形式不是确切唯一的,因为有可能向 增加 的整数倍,所以为了保证唯一性而要求 位于区间 内;这个 叫做幅角的主值,有时写为 或 。则对数的主值可以定义为[19] :
例如, 。
科学应用
编辑自然指数有应用于表达放射衰变(放射性)之类关于衰减的过程,如放射性原子数目的微分方程 随时间变化率 ,常数 为原子衰变概率,积分得 。
注释
编辑参考资料
编辑- ^ 例如哈代和赖特所著的《数论入门》"Introduction to the theory of numbers" (1.7, Sixth edition, Oxford 2008)的注解 "log x is, of course the 'Napierian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest."(log x 当然是以e为基,x的“纳皮尔”对数。“常用”对数在数学上毫无重要。)
- ^ 证明:从1到b积分1/x,增加三角形{(0, 0), (1, 0), (1, 1)},并减去三角形{(0, 0), (b, 0), (b, 1/b)}。
- ^ Ernest William Hobson, John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge: The University Press, 1914
- ^ Boyer, Carl B., 14,Section "Jobst Bürgi", A History of Mathematics, New York: John Wiley & Sons, 1991, ISBN 978-0-471-54397-8
- ^ 选取接近e的底数b,对数表涉及的bx为单调增函数,定义域为0到1而值域为1到b;选取接近1/e的底数b,对数表涉及的bx为单调减函数,定义域为0到∞而值域为1到0。
- ^ 以 这个接近1的数为基础。
- ^
博纳文图拉·卡瓦列里在1635年的《Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota》中给出定积分:
- ^ 设a=1,x轴上[a,b]两点对应的双曲线线段与原点围成的双曲线扇形面积为f(b),[c,d]对应的扇形面积为f(d)-f(c),d=bc,即为f(bc)-f(c),当且仅当f(bc)=f(b)+f(c)时,两双曲线扇形面积相等。
- ^ J. J. O'Connor; E. F. Robertson, The number e, The MacTutor History of Mathematics archive, September 2001 [2009-02-02], (原始内容存档于2012-02-19)
- ^
卡瓦列里弓形面积公式,对于负数值的n(x的负数幂),由于在x = 0处有个奇点,因此定积分的下限为1,而不是0,即为:
- ^ Maor, Eli, e: The Story of a Number, Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-691-14134-3,sections 1, 1.
Eves, Howard Whitley, An introduction to the history of mathematics, The Saunders series 6th, Philadelphia: Saunders, 1992, ISBN 978-0-03-029558-4, section 9-3
Boyer, Carl B., A History of Mathematics, New York: John Wiley & Sons, 1991, ISBN 978-0-471-54397-8, p. 484, 489 - ^
在最初的概念下,底数是接近1的数,而对数是整数;经过简单变换后,底数变大了,成为接近数学常量e的数,而对数变小了,成为 x/n。 - ^ Lang 1997, section IV.2
- ^ Wolfram, Stephen. "Calculation of d/dx(Log(b,x))". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. (原始内容存档于2011-07-18) (英语).
- ^ Kline, Morris, Calculus: an intuitive and physical approach, Dover books on mathematics, New York: Dover Publications, 1998, ISBN 978-0-486-40453-0, p. 386
- ^ Havil, Julian, Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton University Press, 2003, ISBN 978-0-691-09983-5, sections 11.5 and 13.8
- ^ Eves, Howard, Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, Courier Dover Publications: 59, 2012, ISBN 9780486132204,
We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions.
- ^ Ratcliffe, John, Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics 149, Springer: 99, 2006 [2014-03-28], ISBN 9780387331973, (原始内容存档于2014-01-12),
That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786.
- ^ Sarason, Section IV.9.
延伸阅读
编辑- John B. Conway, Functions of one complex variable, 2nd edition, Springer, 1978.
- Serge Lang, Complex analysis, 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.
- Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964.
- Donald Sarason, Complex function theory (页面存档备份,存于互联网档案馆), 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.
- E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.