在数学中,双曲线(英語:hyperbola;希臘語:ὑπερβολή,意思是超过、超出)是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点(称为焦点)的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是
的两倍,这里的
是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。
还称为双曲线的半实轴。焦点位于贯轴上,它们的中间点称为中心。
从代数上说,双曲线是在笛卡尔平面上由如下方程定义的曲线
![{\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a694f3a0805f2f11868a2a69413866d64170409b)
使得
,这裡的所有系数都是实数,并存在定义在双曲线上的点对
的多于一个的解。
在笛卡尔坐标平面上,两个互为倒数的变量的图像是双曲线。
中心位于 的左右开口的双曲线:
-
中心位于 的上下开口的双曲线:
-
实轴贯穿双曲线的中心并交双曲线两臂于它们的顶点。焦点位于双曲线实轴的延长线上。虚轴贯穿双曲线中点并垂直于实轴。
在两个公式中, 是半实轴(在双曲线两臂之间沿着实轴测量的距离),而 是半虚轴。
如果用双曲线的两个顶点的切线交渐近线形成一个矩形,在切线上的两边的长度是 ,平行于实轴的两边的长度是 ,注意 可以大于 。
如果计算从双曲线上任意准线上的点到每个焦点的距离,这两个距离的差的绝对值总是 。
直角双曲线 的图像。
离心率给出自:
-
左右开口的双曲线的焦点是: ,其中c给出自 。
上下开口的双曲线的焦点是: ,其中c给出自 。
等轴双曲线的实轴与虚轴长相等,即 且 ,此时渐近线方程为 (无论焦点在 轴还是 轴)。
单位双曲线属于等轴双曲线,且半实轴和半虚轴的长均为 ,即 ,满足方程:
- 或 。
对于以直线 和直线 为渐近线的直角双曲线:
-
这种双曲线最简单的例子是:
-
當双曲线 的实轴是双曲线 的虚轴,且双曲线 的虚轴是双曲线 的实轴时,称双曲线 与双曲线 为共轭双曲线。若 的方程為
-
則 的方程為
-
其特点為:
- 共渐近线,与渐近线平行的直线和双曲线有且只有一个交点。
- 焦距相等。
- 两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于 。
左右开口的双曲线:
-
上下开口的双曲线:
-
上右下左开口的双曲线:
-
上左下右开口的双曲线:
-
在所有公式中,中心在极点,而 是半实轴和半虚轴。
如同正弦和余弦函数给出椭圆的参数方程,双曲函数给出双曲线的参数方程。
左右开口的双曲线:
-
或
-
上下开口的双曲线:
-
或
-
在所有公式中, 是双曲线的中点, 是半实轴而 是半虚轴。