换元积分法
换元积分法,又稱變數變換法(英語:Integration by substitution),是求积分的一种方法,由链式法则和微积分基本定理推导而来。
第一类换元法
编辑设 为可积函数, 为连续可导函数,则有:
第一类换元法的基本思想是配凑的思想。
第二类换元法
编辑设 为可积函数, 为连续可导函数,则有:
在遇到类似 、 和 的式子时,通常采取分别令 、 或 进行换元[1],得到关于 的一个原函数。如果要计算不定积分,则再由 与 的关系还原即可;如果要计算定积分,只需在变换后的积分限 和 下计算相应的定积分即可。
例子
编辑计算积分 。
引入另外一個變數
编辑設 , 則
當 ,
當 ,
其中 换元为 后, 亦变为 ,是因为其形式为黎曼-斯蒂尔杰斯积分,但在黎曼-斯蒂尔杰斯积分中变数的取值范围应该还是 x 的取值范围,而不是 g(x) 的取值范围。
不引入另外一個變數
编辑注释
编辑- ^ 换元的过程需要注意指明新变量的取值范围。