偏度
形狀量數
偏度（英語：skewness），亦稱歪度，在機率論和統計學中衡量實數隨機變數機率分布的不對稱性。偏度的值可以為正，可以為負或者甚至是無法定義。在數量上，偏度為負（負偏態；左偏）就意味著在機率密度函數左側的尾部比右側的長，絕大多數的值（不一定包括中位數在內[1]）位於平均值的右側。偏度為正（正偏態；右偏）就意味著在機率密度函數右側的尾部比左側的長，絕大多數的值（不一定包括中位數[1]）位於平均值的左側。偏度為零就表示數值相對均勻地分布在平均值的兩側，但不一定意味著其為對稱分布。
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介紹
編輯偏度分為兩種：
如果分布對稱，那麼平均值=中位數，偏度為零（此外，如果分布為單峰分布，那麽平均值=中位數=眾數）。
定義
編輯隨機變數 的偏度 為三階標準動差，可被定義為：
![{\displaystyle \gamma _{1}=\operatorname {E} {\Big [}{\big (}{\tfrac {X-\mu }{\sigma }}{\big )}^{\!3}\,{\Big ]}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} {\big [}(X-\mu )^{3}{\big ]}}{\ \ \ (\operatorname {E} {\big [}(X-\mu )^{2}{\big ]})^{3/2}}}={\frac {\kappa _{3}}{\kappa _{2}^{3/2}}}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa57e18444577081ab48137523158ae4dcc0ae08)
其中 是三階主動差， 是標準差。 是期望值算子。等式的最後以三階累積量與二階累積量的1.5次方的比率來表示偏度。這和用四階累積量除去二階累積量的平方來表示峰度的方法向類似。
偏度有時用 來表示。老教科書過去常常用 來表示偏度，可是由於偏度可為負，這樣的表示法較為不便。
![{\displaystyle \mathrm {Skew} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae301b305cc066f80d90eb6a12f2194b28dd9668)
對上面的等式進行擴展可導出用非主動差E[X3]來表示偏度的公式：
![{\displaystyle \gamma _{1}=\operatorname {E} {\bigg [}{\Big (}{\frac {X-\mu }{\sigma }}{\Big )}^{\!3}\,{\bigg ]}={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \operatorname {E} [X^{2}]+2\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6fe58fd24997f29812ff4e5663772e03948846a)
樣本偏度
編輯具有 個值的樣本的樣本偏度為：
其中 是樣本平均值， 是三階樣本主動差， 是二階樣本中心距，即樣本變異數。
性質
編輯當： 時，偏度可以是無窮大的。
![{\displaystyle \Pr \left[X>x\right]=x^{-3}{\mbox{ for }}x>1,\ \Pr[X<1]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6ed1139d62e8ebe04766499e6cb443cf68fb28f)
或者當： （ 為負）及
![{\displaystyle \Pr[X<x]={\frac {(1-x)^{-3}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c9f958f8cc410f80e53f0418eadb356d17d09f1)
（ 為正）時，偏度無法定義。
![{\displaystyle \Pr[X>x]={\frac {(1+x)^{-3}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205221111c435c6efbf84f72cbcf8ffdd84d7fa1)
在後面的這個例子中，三階累積量是無法定義的。 其他分布形式比如：
![{\displaystyle \Pr \left[X>x\right]=x^{-2}{\mbox{ for }}x>1,\ \Pr[X<1]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b85499e724ce781c6321eaeeaff9f20ecee2b83)
二階和三階累積量是無窮大的，所以偏度也是無法定義的。
如果假定 為 個獨立變量之和並且這些變量和 具有相同的分布，那麽 的三階累積量是 的 倍， 的二階累積量也是 的 倍，所以： 。根據中央極限定理，當其接近高斯分布時變量之和的偏度減小。
![{\displaystyle {\mbox{Skew}}[Y]={\frac {{\mbox{Skew}}[X]}{\sqrt {n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a7a89b00ea6980696d82ba113c241a2679669a1)
參見
編輯註釋
編輯參考資料
編輯- Groeneveld, RA; Meeden, G. Measuring Skewness and Kurtosis. The Statistician. 1984, 33 (4): 391–399 [2010-10-30]. doi:10.2307/2987742. （原始內容存檔於2020-08-20）.
- Johnson, NL, Kotz, S, Balakrishnan N (1994) Continuous Univariate Distributions, Vol 1, 2nd Edition Wiley ISBN 0-471-58495-9
- MacGillivray, HL. Shape properties of the g- and h- and Johnson families. Comm. Statistics - Theory and Methods. 1992, 21: 1244–1250.