偏度
形狀量數
偏度（英语：skewness），亦称歪度，在概率论和统计学中衡量实数随机变量概率分布的不对称性。偏度的值可以为正，可以为负或者甚至是无法定义。在数量上，偏度为负（负偏态；左偏）就意味着在概率密度函数左侧的尾部比右侧的长，绝大多数的值（不一定包括中位数在内[1]）位于平均值的右侧。偏度为正（正偏态；右偏）就意味着在概率密度函数右侧的尾部比左侧的长，绝大多数的值（不一定包括中位数[1]）位于平均值的左侧。偏度为零就表示数值相对均匀地分布在平均值的两侧，但不一定意味着其为对称分布。
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介绍
编辑偏度分为两种：
如果分布对称，那么平均值=中位数，偏度为零（此外，如果分布为单峰分布，那么平均值=中位数=众数）。
定义
编辑随机变量 的偏度 为三阶标准矩，可被定义为：
![{\displaystyle \gamma _{1}=\operatorname {E} {\Big [}{\big (}{\tfrac {X-\mu }{\sigma }}{\big )}^{\!3}\,{\Big ]}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} {\big [}(X-\mu )^{3}{\big ]}}{\ \ \ (\operatorname {E} {\big [}(X-\mu )^{2}{\big ]})^{3/2}}}={\frac {\kappa _{3}}{\kappa _{2}^{3/2}}}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa57e18444577081ab48137523158ae4dcc0ae08)
其中 是三阶中心矩， 是标准差。 是期望算子。等式的最后以三阶累积量与二阶累积量的1.5次方的比率来表示偏度。这和用四阶累积量除去二阶累积量的平方来表示峰度的方法向类似。
偏度有时用 来表示。老教科书过去常常用 来表示偏度，可是由于偏度可为负，这样的表示法较为不便。
![{\displaystyle \mathrm {Skew} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae301b305cc066f80d90eb6a12f2194b28dd9668)
对上面的等式进行扩展可导出用非中心矩E[X3]来表示偏度的公式：
![{\displaystyle \gamma _{1}=\operatorname {E} {\bigg [}{\Big (}{\frac {X-\mu }{\sigma }}{\Big )}^{\!3}\,{\bigg ]}={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \operatorname {E} [X^{2}]+2\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6fe58fd24997f29812ff4e5663772e03948846a)
样本偏度
编辑具有 个值的样本的样本偏度为：
其中 是样本平均值， 是三阶样本中心矩， 是二阶样本中心距，即样本方差。
性质
编辑当： 时，偏度可以是无穷大的。
![{\displaystyle \Pr \left[X>x\right]=x^{-3}{\mbox{ for }}x>1,\ \Pr[X<1]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6ed1139d62e8ebe04766499e6cb443cf68fb28f)
或者当： （ 为负）及
![{\displaystyle \Pr[X<x]={\frac {(1-x)^{-3}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c9f958f8cc410f80e53f0418eadb356d17d09f1)
（ 为正）时，偏度无法定义。
![{\displaystyle \Pr[X>x]={\frac {(1+x)^{-3}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205221111c435c6efbf84f72cbcf8ffdd84d7fa1)
在后面的这个例子中，三阶累积量是无法定义的。 其他分布形式比如：
![{\displaystyle \Pr \left[X>x\right]=x^{-2}{\mbox{ for }}x>1,\ \Pr[X<1]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b85499e724ce781c6321eaeeaff9f20ecee2b83)
二阶和三阶累积量是无穷大的，所以偏度也是无法定义的。
如果假定 为 个独立变量之和并且这些变量和 具有相同的分布，那么 的三阶累积量是 的 倍， 的二阶累积量也是 的 倍，所以： 。根据中心极限定理，当其接近高斯分布时变量之和的偏度减小。
![{\displaystyle {\mbox{Skew}}[Y]={\frac {{\mbox{Skew}}[X]}{\sqrt {n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a7a89b00ea6980696d82ba113c241a2679669a1)
参见
编辑注释
编辑参考资料
编辑- Groeneveld, RA; Meeden, G. Measuring Skewness and Kurtosis. The Statistician. 1984, 33 (4): 391–399 [2010-10-30]. doi:10.2307/2987742. （原始内容存档于2020-08-20）.
- Johnson, NL, Kotz, S, Balakrishnan N (1994) Continuous Univariate Distributions, Vol 1, 2nd Edition Wiley ISBN 0-471-58495-9
- MacGillivray, HL. Shape properties of the g- and h- and Johnson families. Comm. Statistics - Theory and Methods. 1992, 21: 1244–1250.