阻力方程

阻力方程是流体力学中计算一物体在流体中运动，所受到阻力的方程式。

此方程式是由瑞利勋爵所提出，其方程式如下：

$F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}\,C_{D}\,A$

其中

F_D为阻力，是施力平行流场方向的分量.

ρ为流体密度

v 是流体相对物体的速度.

A 为参考面积.

C_D 为阻力系数，是一个无量纲的系数，像汽车的阻力系数约在0.25到0.45之间.

参考面积A一般定义为物体在运动方向上的正交投影面积。对于形状简单，没有空洞的物体（例如球），参考面即为截面。若是其他物体（例如自行车骑士的身体），A可能比任何一个截面都要大。翼形就用翼弦的平方为参考面积。由于翼弦长常定义为1，因此参考面积也是1。飞机的阻力常和其升力相比较，因此常用机翼面积（或转子叶片面积）作为其参考面。飞艇及旋转体使用体积阻力系数，其参考面积为其体积立方根的平方。有时一物体为了和其他物体比较阻力系数，会使用不同的参考面积，此时需特别标示所使用的参考面积。

对有尖角的物体，例如长方柱或是垂直流体方向的圆盘，在雷诺数大于1000时可以将阻力系数视为一定值。但若是圆滑的物体，例如圆柱，阻力系数会随着雷诺数有明显的变化，甚至到雷诺数到达10⁷也是如此。

讨论

阻力方程是立基在一个假设的理想情形下：所有流体冲撞物体的参考面后停止，因此在整个参考面上产生滞止压强。实际的物体不可能完全符合此现象，而阻力系数C_D就是真实物体所受阻力相对于理想情形阻力的比例。一般而言较粗糙。非流线性的物体其C_D接近1。较平滑的物体C_D数值较低。阻力方程提供了阻力系数C_D的定义，此系数会随雷诺数而变化，实际的数值需要利用实验来求得。

若不考虑阻力系数的变化，阻力和流体速度的平方成正比，若速度变成原来的二倍，不但冲撞物体的流体速度加倍，单位时间内冲撞物体的流体质量也加倍，因此单位时间内的动量变化（及阻力）都变成原来的四倍。此现象和固体和固体之间的摩擦力不同，速度变化时，摩擦力不会有明显的改变。

推导

阻力方程可以由量纲分析推导而得。假设一运动中的流体碰撞一物体，流体会对物体施力，根据一个复杂（且未完全了解）的定律，可以假设以下变数之间存在某种关系：

• 速度 u,
• 流体密度 ρ,
• 流体的动黏滞系数 ν
• 物体的大小，以其迎风面积A表示
• 阻力 F_D

利用白金汉π定理，可以将上述的5个变数简化为以下的二个变数：

• 阻力系数 C_D
• 雷诺数 R_e

若考虑原来的5个变数，可以得到以下的式子

$f_{a}(F_{D},\,u,\,A,\,\rho ,\,\nu )\,=\,0.\,$

上式并未假设阻力和其他变数之间有一对一的函数对应关系。而上式中的f_a是某个未知的，有五个变数的函数。由于方程式的右侧是0，和使用的单位系统无关，因此应该可以将f_a用无量纲来表示。

将上述五个变数组合成无量纲的方式有许多种，不过根据白金汉π定理，最后会有二个无量纲。最合适的是雷诺数

$R_{e}\,=\,{\frac {u\,{\sqrt {A}}}{\nu }}$

及阻力系数

$C_{D}\,=\,{\frac {F_{D}}{{\frac {1}{2}}\,\rho \,A\,u^{2}}}.$

因此上述五个变数的函数可以用另一个只有二个变数的函数来表示：

$f_{b}\left({\frac {F_{D}}{{\frac {1}{2}}\,\rho \,A\,u^{2}}},\,{\frac {u\,{\sqrt {A}}}{\nu }}\right)\,=\,0.$

其中f_b为某个只有二个变数的函数。因此原始的方程式变成只有二个变数的方程式

由于其中唯一的未知数为阻力F_D，其型式可能如下

${\frac {F_{D}}{{\frac {1}{2}}\,\rho \,A\,u^{2}}}\,=\,f_{c}\left({\frac {u\,{\sqrt {A}}}{\nu }}\right)$

或

$F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,A\,u^{2}\,f_{c}(R_{e}),\,$     及     $C_{D}\,=\,f_{c}(R_{e}).$

因此阻力可表示成 ½ ρ A u² 乘以某个自变数为雷诺数R_e的未知函数，此型式较原来五个变数的函数要简单许多。

透过量纲分析将原本复杂的问题（要找出有五个变数的函数）变成一个较简单的问题：决定阻力和雷诺数之间的函数关系。

量纲分析也提供一些额外的资讯，例如在其他条件不变时，阻力和流体密度成正比，此资讯在进行研究的初期尤其宝贵。若要研究阻力和雷诺数之间的关系，可以不用用大型的物体在高速流体下进行实验（例如用真实尺寸的飞机进行风洞实验），只要用较小的物体，在黏滞度更大，速度更快的流体中进行实验即可，因为这二个系统为相似的。

参考文献

来源

书籍

• Batchelor, G. K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. 1967. ISBN 0521663962. 
• Huntley, H. E. Dimensional Analysis. Dover. 1967. LOC 67-17978. 

参见

• 攻角
• 阻力
• 莫里森方程
• 失速
• 终端速度