反三角函数

在数学中，反三角函数（英语：inverse trigonometric function）是三角函数的反函数。

反三角函数示意图

几个反三角函数的图形，其中，反余切以复变分析定义，因此在原点处出现不连续断点

数学符号

符号$\sin ^{-1},\cos ^{-1}$等常用于$\arcsin ,\arccos$等。但是这种符号有时在$\sin ^{-1}x$和${\frac {1}{\sin x}}$之间易造成混淆。

在编程中，函数$\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$通常叫做$\mathrm {asin}$, $\mathrm {acos}$, $\mathrm {atan}$。很多编程语言提供两自变量atan2函数，它计算给定$y$和$x$的${\frac {y}{x}}$的反正切，但是值域为$[-\pi ,\pi ]$。

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  在笛卡尔平面上$f(x)=\arcsin x$(红)和$f(x)=\arccos x$(绿)函数的常用主值的图像。
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  在笛卡尔平面上$f(x)=\arctan x$(红)和$f(x)=\operatorname {arccot} x$(绿)函数的常用主值的图像。
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  在笛卡尔平面上$f(x)=\operatorname {arccsc} x$(红)和$f(x)=\operatorname {arcsec} x$(绿)函数的常用主值的图像。

主值

下表列出基本的反三角函数。

名称	常用符号	定义	定义域	值域
反正弦	$y=\arcsin x$	$x=\sin y$	$[-1,1]$	$[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$
反余弦	$y=\arccos x$	$x=\cos y$	$[-1,1]$	$[0,\pi ]$
反正切	$y=\arctan x$	$x=\tan y$	$\mathbb {R}$	$(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})$
反余切	$y=\operatorname {arccot} x$	$x=\cot y$	$\mathbb {R}$	$(0,\pi )$
反正割	$y=\operatorname {arcsec} x$	$x=\sec y$	$(-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )$	$[0,{\frac {\pi }{2}})\cup ({\frac {\pi }{2}},\pi ]$
反余割	$y=\operatorname {arccsc} x$	$x=\csc y$	$(-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )$	$[-{\frac {\pi }{2}},0)\cup (0,{\frac {\pi }{2}}]$

（注意：某些数学教科书的作者将$\operatorname {arcsec}$的值域定为$[0,{\frac {\pi }{2}})\cup [\pi ,{\frac {3\pi }{2}})$因为当$\tan$的定义域落在此区间时，$\tan$的值域$\geq 0$，如果$\operatorname {arcsec}$的值域仍定为$[0,{\frac {\pi }{2}})\cup ({\frac {\pi }{2}},\pi ]$，将会造成$\tan(\operatorname {arcsec} x)=\pm {\sqrt {x^{2}-1}}$，如果希望$\tan(\operatorname {arcsec} x)={\sqrt {x^{2}-1}}$，那就必须将$\operatorname {arcsec}$的值域定为$[0,{\frac {\pi }{2}})\cup [\pi ,{\frac {3\pi }{2}})$，基于类似的理由$\operatorname {arccsc}$的值域定为$(-\pi ,-{\frac {\pi }{2}}]\cup (0,{\frac {\pi }{2}}]$）

如果$x$允许是复数，则$y$的值域只适用它的实部。

反三角函数之间的关系

余角：

$\arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x$

$\operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x$

$\operatorname {arccsc} x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec} x$

负数参数：

$\arcsin(-x)=-\arcsin x\!$

$\arccos(-x)=\pi -\arccos x\!$

$\arctan(-x)=-\arctan x\!$

$\operatorname {arccot}(-x)=\pi -\operatorname {arccot} x\!$

$\operatorname {arcsec}(-x)=\pi -\operatorname {arcsec} x\!$

$\operatorname {arccsc}(-x)=-\operatorname {arccsc} x\!$

倒数参数：

$\arccos {\frac {1}{x}}\,=\operatorname {arcsec} x$

$\arcsin {\frac {1}{x}}\,=\operatorname {arccsc} x$

$\arctan {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\arctan x=\operatorname {arccot} x,\$ $\ x>0$

$\arctan {\frac {1}{x}}=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan x=-\pi +\operatorname {arccot} x,\$ $\ x<0$

$\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\arctan x,\$ $\ x>0$

$\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\pi +\arctan x,\$ $\ x<0$

$\operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}=\arccos x$

$\operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}=\arcsin x$

如果有一段正弦表：

$\arccos x=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},$ $\ 0\leq x\leq 1$

$\arctan x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

注意只要在使用了复数的平方根的时候，我们选择正实部的平方根(或者正虚部，如果是负实数的平方根的话)。

从半角公式$\tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}$，可得到：

$\arcsin x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

$\arccos x=2\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}},$ $-1<x\leq +1$

$\arctan x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

三角函数与反三角函数的关系

通过定义可知：

$\theta$	$\sin \theta$	$\cos \theta$	$\tan \theta$	图示
$\arcsin x$	$\sin(\arcsin x)=x$	$\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos x$	$\sin(\arccos x)={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\cos(\arccos x)=x$	$\tan(\arccos x)={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$
$\arctan x$	$\sin(\arctan x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\arctan x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\arctan x)=x$
$\operatorname {arccot} x$	$\sin(\operatorname {arccot} x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\operatorname {arccot} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\operatorname {arccot} x)={\frac {1}{x}}$
$\operatorname {arcsec} x$	$\sin(\operatorname {arcsec} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\cos(\operatorname {arcsec} x)={\frac {1}{x}}$	$\tan(\operatorname {arcsec} x)={\sqrt {x^{2}-1}}$
$\operatorname {arccsc} x$	$\sin(\operatorname {arccsc} x)={\frac {1}{x}}$	$\cos(\operatorname {arccsc} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\tan(\operatorname {arccsc} x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

一般解

每个三角函数都周期于它的参数的实部上，在每个$2\pi$区间内通过它的所有值两次。正弦和余割的周期开始于$2\pi k-{\frac {\pi }{2}}$结束于$2\pi k+{\frac {\pi }{2}}$（这里的$k$是一个整数），在$2\pi k+{\frac {\pi }{2}}$到$2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}$上倒过来。余弦和正割的周期开始于$2\pi k$结束于$2\pi k+\pi$，在$2\pi k+\pi$到$2\pi k+2\pi$上倒过来。正切的周期开始于$2\pi k-{\frac {\pi }{2}}$结束于$2\pi k+{\frac {\pi }{2}}$，接着(向前)在$2\pi k+{\frac {\pi }{2}}$到$2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}$上重复。余切的周期开始于$2\pi k$结束于$2\pi k+\pi$，接着（向前）在$2\pi k+\pi$到$2\pi k+2\pi$上重复。

这个周期性反应在一般反函数上：

$\sin y=x\ \Leftrightarrow \ (\ y=\arcsin x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ \lor \ y=\pi -\arcsin x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ )$

$\cos y=x\ \Leftrightarrow \ (\ y=\arccos x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ \lor \ y=2\pi -\arccos x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ )$

$\tan y=x\ \Leftrightarrow \ \ y=\arctan x+k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z}$

$\cot y=x\ \Leftrightarrow \ \ y=\operatorname {arccot} x+k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z}$

$\sec y=x\ \Leftrightarrow \ (\ y=\operatorname {arcsec} x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ \lor \ y=2\pi -\operatorname {arcsec} x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ )$

$\csc y=x\ \Leftrightarrow \ (\ y=\operatorname {arccsc} x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ \lor \ y=\pi -\operatorname {arccsc} x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ )$

反三角函数的导数

对于实数$x$的反三角函数的导函数如下：

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin x&{}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}};\qquad |x|<1\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arccos x&{}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}};\qquad |x|<1\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arctan x&{}={\frac {1}{1+x^{2}}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arccot} x&{}={\frac {-1}{1+x^{2}}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\\\end{aligned}}$

举例说明，设$\theta =\arcsin x\!$，得到：

${\frac {d\arcsin x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sin \theta }}={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

因为要使根号内部恒为正，所以在条件加上$|x|<1$，其他导数公式同理可证。

表达为定积分

积分其导数并固定在一点上的值给出反三角函数作为定积分的表达式：

${\begin{aligned}\arcsin x&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1\\\arccos x&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1\\\arctan x&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz,\\\operatorname {arccot} x&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz,\\\operatorname {arcsec} x&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\geq 1\\\operatorname {arccsc} x&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\geq 1\end{aligned}}$

当$x$等于1时，在有极限的域上的积分是瑕积分，但仍是良好定义的。

无穷级数

如同正弦和余弦函数，反三角函数可以使用无穷级数计算如下：

${\begin{aligned}\arcsin z&{}=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\arccos z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\left[z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \right]\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\arctan z&{}=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arccot} z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arctan z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{-1}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\left[z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots \right]\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq -4\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arccsc} z&{}=\arcsin \left(z^{-1}\right)\\&{}=z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{-(2n+1)}}{2n+1}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}$

欧拉发现了反正切的更有效的级数：

$\arctan x=\infty {x}{1+x^{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kx^{2}}{(2k+1)(1+x^{2})}}$。

（注意对$x=0$在和中的项是空积1。）

反三角函数的不定积分

${\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\qquad x\leq 1\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\qquad x\leq 1\\\int \arctan x\,dx&{}=x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccot} x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C=x\,\operatorname {arcsec} x+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc} x+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C=x\,\operatorname {arccsc} x-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\\\end{aligned}}$

使用分部积分法和上面的简单导数很容易得出它们。

举例

使用$\int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u$，设

${\begin{aligned}u&{}=&\arcsin x&\quad \quad \mathrm {d} v=\mathrm {d} x\\\mathrm {d} u&{}=&{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}&\quad \quad {}v=x\end{aligned}}$

则

$\int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin x-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x$

换元

$k=1-x^{2}.\,$

则

$\mathrm {d} k=-2x\,\mathrm {d} x$

且

$\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}\int {\frac {\mathrm {d} k}{\sqrt {k}}}=-{\sqrt {k}}$

换元回x得到

$\int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

加法公式和减法公式

arcsin x + arcsin y

$\arcsin x+\arcsin y=\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),xy\leq 0\lor x^{2}+y^{2}\leq 1$

$\arcsin x+\arcsin y=\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),x>0,y>0,x^{2}+y^{2}>1$

$\arcsin x+\arcsin y=-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),x<0,y<0,x^{2}+y^{2}>1$

arcsin x - arcsin y

$\arcsin x-\arcsin y=\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),xy\geq 0\lor x^{2}+y^{2}\leq 1$

$\arcsin x-\arcsin y=\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),x>0,y<0,x^{2}+y^{2}>1$

$\arcsin x-\arcsin y=-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),x<0,y>0,x^{2}+y^{2}>1$

arccos x + arccos y

$\arccos x+\arccos y=\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),x+y\geq 0$

$\arccos x+\arccos y=2\pi -\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),x+y<0$

arccos x - arccos y

$\arccos x-\arccos y=-\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),x\geq y$

$\arccos x-\arccos y=\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),x<y$

arctan x + arctan y

$\arctan \,x+\arctan \,y=\arctan \,{\frac {x+y}{1-xy}},xy<1$

$\arctan \,x+\arctan \,y=\pi +\arctan \,{\frac {x+y}{1-xy}},x>0,xy>1$

$\arctan \,x+\arctan \,y=-\pi +\arctan \,{\frac {x+y}{1-xy}},x<0,xy>1$

arctan x - arctan y

$\arctan x-\arctan y=\arctan {\frac {x-y}{1+xy}},xy>-1$

$\arctan x-\arctan y=\pi +\arctan {\frac {x-y}{1+xy}},x>0,xy<-1$

$\arctan x-\arctan y=-\pi +\arctan {\frac {x-y}{1+xy}},x<0,xy<-1$

arccot x + arccot y

$\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} y=\operatorname {arccot} {\frac {xy-1}{x+y}},x>-y$

$\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} y=\operatorname {arccot} {\frac {xy-1}{x+y}}+\pi ,x<-y$

arcsin x + arccos y

$\arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}},|x|\leq 1$

arctan x + arccot y

$\arctan x+\operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}$

参见

• 正切半角公式
• 平方根

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Inverse Trigonometric Functions. MathWorld. 
• http://mathworld.wolfram.com/InverseTangent.html（页面存档备份，存于互联网档案馆）