截角八面體
在幾何學中,截角八面體[1]是一種具有十四個面的半正多面體,屬於阿基米德立體也是個平行多面體。由6個正方形和8個正六邊形組成,共有14個面、36個邊以及24個頂點[2]。因為每個面皆具點對稱性質,因此截角八面體也是一種環帶多面體。同時,因為它具有正方形和六邊形面,因此也是一種戈德堡多面體,其戈德堡符號為GIV(1,1)。另外,由於截角八面體也是一種排列多面體[3][4],因此可以獨立填滿整個三維空間[5],而由截角八面體堆成的圖形稱為截角八面體堆砌[6]。
![]() (按這裏觀看旋轉模型) | |||||
類別 | 半正多面體 | ||||
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對偶多面體 | 四角化立方體![]() | ||||
識別 | |||||
名稱 | 截角八面體 | ||||
參考索引 | U08, C20, W7 | ||||
鮑爾斯縮寫 | toe![]() | ||||
數學表示法 | |||||
考克斯特符號 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
施萊夫利符號 | t0,1{3,4} t0,1,2{3,3} t{3,4} tr{3,3} ![]() | ||||
威佐夫符號 | 2 4 | 3 3 3 2 | | ||||
康威表示法 | tO bT ![]() | ||||
性質 | |||||
面 | 14 | ||||
邊 | 36 | ||||
頂點 | 24 | ||||
歐拉特徵數 | F=14, E=36, V=24 (χ=2) | ||||
組成與佈局 | |||||
面的種類 | 正方形 正六邊形 | ||||
面的佈局 | 6個{4} 8個{6} | ||||
頂點圖 | 4.6.6 | ||||
對稱性 | |||||
對稱群 | Oh群 and Th | ||||
特性 | |||||
環帶多面體 permutohedron | |||||
圖像 | |||||
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性質
編輯截角八面體僅具有點可遞性質,也就是截角八面體每一個頂點相鄰面的組成都是一樣的,都是一個四邊形和兩個六邊形的公共頂點。但截角八面體不具面可遞和邊可遞性質,因為截角八面體有兩種面,四邊形和六邊形,邊也不可遞,因為截角八面體並不是所有組成邊的相鄰面都只有一種,截角八面體共有兩種稜,一種為六邊形與六邊形的公共稜、另一種為六邊形與四邊形的公共稜。
由於截角八面體僅具有點可遞性質,因此只能算是均勻多面體[7]中的半正多面體,不具擬正多面體性質。但這個多面體是阿幾米德研究的13種半正多面體之一,因此截角八面體也是一種阿基米德立體[8]。
結構
編輯截角八面體可以從邊長3a的正八面體切去六個底邊長為a的四角錐構成。這些被切下來的棱錐體的底與側面邊長皆等長,因此其側面皆為正三角形,底邊長為a、底面積為a2,這些四角錐是正四角錐,是第一種詹森多面體,J1。
這些被截下來的正四角錐其高h與斜高s為:
這些數據則確定能從正八面體構成截角八面體的截角切割深度。若太深則會變成截半八面體。
座標
編輯在(±2,±2,±2)範圍內的平行投影 | 每個六邊形面切割成六個正三角形產生了八個新的頂點,他們分別為(±1,±1,±1)的所有組合。 |
邊長為2的平方根且幾何中心位於原點的截角八面體其頂點座標為(0, ±1, ±2)的所有排列。
體積與表面積
編輯截角立方體的體積 ,表面積 ,其中 是該截半立方體的邊長[2]。
- 表面積 = ≈
- 體積 = ≈
作法
編輯正交投影
編輯建立於 | 頂點 | 邊 4-6 |
邊 6-6 |
面 正方形 |
面 正六邊形 |
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截角八面體 | |||||
四角化六面體 | |||||
投影 對稱性 |
[2] | [2] | [2] | [4] | [6] |
球面鑲嵌
編輯 以正方形面為中心 |
以正六邊形面為中心 | |
平行投影 | 施萊格爾投影 |
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分割
編輯截角八面體可分割成正中央一個正八面體、其餘每個面切成8三角帳塔,剩餘的部分在分割成6個正四角錐。[10]
虧格 2 | 虧格 3 |
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D3d, [2+,6], (2*3), order 12 | Td, [3,3], (*332), order 24 |
排列多面體
編輯截角八面體是一種排列多面體[3][4],可以以更「對稱」的形式表示:四維空間中,(1,2,3,4)所有排列的坐標在三維子空間 組成截角八面體。(對應的二維形狀是正六邊形:三維空間中,(1,2,3)所有排列的坐標在二維子空間 組成正六邊形。)
相關多面體及鑲嵌
編輯對稱性: [3,3], (*332) | [3,3]+, (332) | ||||||
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{3,3} | t0,1{3,3} | t1{3,3} | t1,2{3,3} | t2{3,3} | t0,2{3,3} | t0,1,2{3,3} | s{3,3} |
半正多面體對偶 | |||||||
V3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3.3 |
對稱性: [4,3], (*432) | [4,3]+, (432) | [1+,4,3], (*332) | [4,3+], (3*2) | ||||||
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{4,3} | t0,1{4,3} | t1{4,3} | t1,2{4,3} | {3,4} | t0,2{4,3} | t0,1,2{4,3} | s{4,3} | h{4,3} | h1,2{4,3} |
半正多面體的對偶 | |||||||||
V4.4.4 | V3.8.8 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3 | V3.4.4.4 | V4.6.8 | V3.3.3.3.4 | V3.3.3 | V3.3.3.3.3 |
堆砌
編輯截角八面體可以獨立填滿整個三維空間,而這種由截角八面體堆砌出來的幾何圖形稱為截角八面體堆砌。
截角八面體堆砌是三維空間內28個半正密鋪之一,由截角八面體獨立堆積而成,雖然他每個胞都全等、每邊皆等長,但其不能稱為正密鋪,因為雖然她只由一種胞,截角八面體組成,但是該胞不是正多面體,因此並非所有「面」皆全等,因此截角八面體堆砌只能稱為半正堆砌。
- 其他堆砌
截角八面體堆砌 | 小斜方截半正方體堆砌 | 截角交錯立方體堆砌 |
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... | ||||||
過截角立方體 | 過截角超立方體 | 過截角五維超立方體 | 過截角六維超立方體 | 過截角七維超立方體 | 過截角八維超立方體 | |
參見
編輯參考文獻
編輯- ^ Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
- ^ 2.0 2.1 Weisstein, Eric W. (編), Truncated Octahedron, (Archimedean solid), at MathWorld--A Wolfram Web Resource,Wolfram Research, Inc. (英語)
- ^ 3.0 3.1 莊宛臻. Type B 的排列多面體. 應用數學系. 高雄大學. 2010-07-03 [2016-01-30]. (原始內容存檔於2016-01-30).
- ^ 4.0 4.1 Cayley graph of S4. This Cayley graph labeling is shown, e.g., by Ziegler (1995).
- ^ Freitas, Robert A., Jr. Uniform space-filling using only truncated octahedra. Figure 5.5 of Nanomedicine, Volume I: Basic Capabilities, Landes Bioscience, Georgetown, TX, 1999. [2006-09-08]. (原始內容存檔於2006-01-14). 外部連結存在於
|publisher=
(幫助) - ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
- ^ Mäder, Roman. The Uniform Polyhedra: Truncated Octahedron. [2006-09-08]. (原始內容存檔於2006-09-11).
- ^ Cromwell, P. Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids
- ^ Hart, George W. VRML model of truncated octahedron. Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra. [2006-09-08]. (原始內容存檔於2006-08-22). 外部連結存在於
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(幫助) - ^ Alex Doskey. Chapter 5 - Simplest (R)(A)(Q)(T) Toroids of genus p=1. Alexander's Polyhedra. doskey.com. 2006 [2016-01-30]. (原始內容存檔於2016-02-04).
- Gaiha, P., and Guha, S.K. Adjacent vertices on a permutohedron. SIAM Journal on Applied Mathematics. 1977, 32 (2): 323–327. doi:10.1137/0132025.
- Alexandrov, A.D. Convex polyhedra. Berlin: Springer. 1958: 539. ISBN 3-540-23158-7.
- Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2.
外部連結
編輯- 埃里克·韋斯坦因, 截角八面體 (參閱阿基米德立體) 於MathWorld(英文)
- 埃里克·韋斯坦因. Permutohedron. MathWorld.
- Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra x3x4o - toe. bendwavy.org.
- Editable printable net of a truncated octahedron with interactive 3D view (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)
- 截角八面體形狀的扭計骰:Fisher's Truncated Octahedron (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)、Truncated Octaminx (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)