截角八面体
在几何学中,截角八面体[1]是一种具有十四个面的半正多面体,属于阿基米德立体也是个平行多面体。由6个正方形和8个正六边形组成,共有14个面、36个边以及24个顶点[2]。因为每个面皆具点对称性质,因此截角八面体也是一种环带多面体。同时,因为它具有正方形和六边形面,因此也是一种戈德堡多面体,其戈德堡符号为GIV(1,1)。另外,由于截角八面体也是一种排列多面体[3][4],因此可以独立填满整个三维空间[5],而由截角八面体堆成的图形称为截角八面体堆砌[6]。
![]() (按这里观看旋转模型) | |||||
类别 | 半正多面体 | ||||
---|---|---|---|---|---|
对偶多面体 | 四角化立方体![]() | ||||
识别 | |||||
名称 | 截角八面体 | ||||
参考索引 | U08, C20, W7 | ||||
鲍尔斯缩写 | toe![]() | ||||
数学表示法 | |||||
考克斯特符号 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
施莱夫利符号 | t0,1{3,4} t0,1,2{3,3} t{3,4} tr{3,3} ![]() | ||||
威佐夫符号 | 2 4 | 3 3 3 2 | | ||||
康威表示法 | tO bT ![]() | ||||
性质 | |||||
面 | 14 | ||||
边 | 36 | ||||
顶点 | 24 | ||||
欧拉特征数 | F=14, E=36, V=24 (χ=2) | ||||
组成与布局 | |||||
面的种类 | 正方形 正六边形 | ||||
面的布局 | 6个{4} 8个{6} | ||||
顶点图 | 4.6.6 | ||||
对称性 | |||||
对称群 | Oh群 and Th | ||||
特性 | |||||
环带多面体 permutohedron | |||||
图像 | |||||
| |||||
性质
编辑截角八面体仅具有点可递性质,也就是截角八面体每一个顶点相邻面的组成都是一样的,都是一个四边形和两个六边形的公共顶点。但截角八面体不具面可递和边可递性质,因为截角八面体有两种面,四边形和六边形,边也不可递,因为截角八面体并不是所有组成边的相邻面都只有一种,截角八面体共有两种棱,一种为六边形与六边形的公共棱、另一种为六边形与四边形的公共棱。
由于截角八面体仅具有点可递性质,因此只能算是均匀多面体[7]中的半正多面体,不具拟正多面体性质。但这个多面体是阿几米德研究的13种半正多面体之一,因此截角八面体也是一种阿基米德立体[8]。
结构
编辑截角八面体可以从边长3a的正八面体切去六个底边长为a的四角锥构成。这些被切下来的棱锥体的底与侧面边长皆等长,因此其侧面皆为正三角形,底边长为a、底面积为a2,这些四角锥是正四角锥,是第一种詹森多面体,J1。
这些被截下来的正四角锥其高h与斜高s为:
这些数据则确定能从正八面体构成截角八面体的截角切割深度。若太深则会变成截半八面体。
座标
编辑在(±2,±2,±2)范围内的平行投影 | 每个六边形面切割成六个正三角形产生了八个新的顶点,他们分别为(±1,±1,±1)的所有组合。 |
边长为2的平方根且几何中心位于原点的截角八面体其顶点座标为(0, ±1, ±2)的所有排列。
体积与表面积
编辑截角立方体的体积 ,表面积 ,其中 是该截半立方体的边长[2]。
- 表面积 = ≈
- 体积 = ≈
作法
编辑正交投影
编辑建立于 | 顶点 | 边 4-6 |
边 6-6 |
面 正方形 |
面 正六边形 |
---|---|---|---|---|---|
截角八面体 | |||||
四角化六面体 | |||||
投影 对称性 |
[2] | [2] | [2] | [4] | [6] |
球面镶嵌
编辑 以正方形面为中心 |
以正六边形面为中心 | |
平行投影 | 施莱格尔投影 |
---|
分割
编辑截角八面体可分割成正中央一个正八面体、其馀每个面切成8三角帐塔,剩馀的部分在分割成6个正四角锥。[10]
亏格 2 | 亏格 3 |
---|---|
D3d, [2+,6], (2*3), order 12 | Td, [3,3], (*332), order 24 |
排列多面体
编辑截角八面体是一种排列多面体[3][4],可以以更“对称”的形式表示:四维空间中,(1,2,3,4)所有排列的坐标在三维子空间 组成截角八面体。(对应的二维形状是正六边形:三维空间中,(1,2,3)所有排列的坐标在二维子空间 组成正六边形。)
相关多面体及镶嵌
编辑对称性: [3,3], (*332) | [3,3]+, (332) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
{3,3} | t0,1{3,3} | t1{3,3} | t1,2{3,3} | t2{3,3} | t0,2{3,3} | t0,1,2{3,3} | s{3,3} |
半正多面体对偶 | |||||||
V3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3.3 |
对称性: [4,3], (*432) | [4,3]+, (432) | [1+,4,3], (*332) | [4,3+], (3*2) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{4,3} | t0,1{4,3} | t1{4,3} | t1,2{4,3} | {3,4} | t0,2{4,3} | t0,1,2{4,3} | s{4,3} | h{4,3} | h1,2{4,3} |
半正多面体的对偶 | |||||||||
V4.4.4 | V3.8.8 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3 | V3.4.4.4 | V4.6.8 | V3.3.3.3.4 | V3.3.3 | V3.3.3.3.3 |
堆砌
编辑截角八面体可以独立填满整个三维空间,而这种由截角八面体堆砌出来的几何图形称为截角八面体堆砌。
截角八面体堆砌是三维空间内28个半正密铺之一,由截角八面体独立堆积而成,虽然他每个胞都全等、每边皆等长,但其不能称为正密铺,因为虽然她只由一种胞,截角八面体组成,但是该胞不是正多面体,因此并非所有“面”皆全等,因此截角八面体堆砌只能称为半正堆砌。
- 其他堆砌
截角八面体堆砌 | 小斜方截半正方体堆砌 | 截角交错立方体堆砌 |
---|---|---|
... | ||||||
过截角立方体 | 过截角超立方体 | 过截角五维超立方体 | 过截角六维超立方体 | 过截角七维超立方体 | 过截角八维超立方体 | |
参见
编辑参考文献
编辑- ^ Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
- ^ 2.0 2.1 Weisstein, Eric W. (编), Truncated Octahedron, (Archimedean solid), at MathWorld--A Wolfram Web Resource,Wolfram Research, Inc. (英语)
- ^ 3.0 3.1 庄宛臻. Type B 的排列多面體. 应用数学系. 高雄大学. 2010-07-03 [2016-01-30]. (原始内容存档于2016-01-30).
- ^ 4.0 4.1 Cayley graph of S4. This Cayley graph labeling is shown, e.g., by Ziegler (1995).
- ^ Freitas, Robert A., Jr. Uniform space-filling using only truncated octahedra. Figure 5.5 of Nanomedicine, Volume I: Basic Capabilities, Landes Bioscience, Georgetown, TX, 1999. [2006-09-08]. (原始内容存档于2006-01-14). 外部链接存在于
|publisher=
(帮助) - ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
- ^ Mäder, Roman. The Uniform Polyhedra: Truncated Octahedron. [2006-09-08]. (原始内容存档于2006-09-11).
- ^ Cromwell, P. Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids
- ^ Hart, George W. VRML model of truncated octahedron. Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra. [2006-09-08]. (原始内容存档于2006-08-22). 外部链接存在于
|publisher=
(帮助) - ^ Alex Doskey. Chapter 5 - Simplest (R)(A)(Q)(T) Toroids of genus p=1. Alexander's Polyhedra. doskey.com. 2006 [2016-01-30]. (原始内容存档于2016-02-04).
- Gaiha, P., and Guha, S.K. Adjacent vertices on a permutohedron. SIAM Journal on Applied Mathematics. 1977, 32 (2): 323–327. doi:10.1137/0132025.
- Alexandrov, A.D. Convex polyhedra. Berlin: Springer. 1958: 539. ISBN 3-540-23158-7.
- Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2.
外部链接
编辑- 埃里克·韦斯坦因, 截角八面体 (参阅阿基米德立体) 于MathWorld(英文)
- 埃里克·韦斯坦因. Permutohedron. MathWorld.
- Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra x3x4o - toe. bendwavy.org.
- Editable printable net of a truncated octahedron with interactive 3D view (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- 截角八面体形状的扭计骰:Fisher's Truncated Octahedron (页面存档备份,存于互联网档案馆)、Truncated Octaminx (页面存档备份,存于互联网档案馆)