單位矩陣

在線性代數中，$n$階單位矩陣，是一個$n\times n$的方形矩陣，其主對角線元素為1，其餘元素為0。單位矩陣以$I_{n}$表示；如果階數可忽略，或可由前後文確定的話，也可簡記為$I$（或者$E$）。

此條目頁的主題是主對角線元素為1、其餘元素為0的矩陣。關於所有元素皆為1的矩陣，請見「一矩陣」。

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

一些數學書籍使用$U$和$E$（分別意為單位矩陣（unit matrix）和基本矩陣（Einheitsmatrix）），不過$I$更加普遍。

特別是單位矩陣作為所有$n$階矩陣的環的單位，以及作為由所有$n$階可逆矩陣構成的一般線性群$GL(n)$的單位元素（單位矩陣明顯可逆，單位矩陣乘自己，仍是單位矩陣）。

這些$n$階矩陣經常表示來自$n$維向量空間自己的線性變換，$I_{n}$表示恆等函數，而不理會基。

有時使用這個記法簡潔的描述對角線矩陣，寫作：

$I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,...,1)$

也可以克羅內克爾δ記法寫作：

$(I_{n})_{ij}=\delta _{ij}$

性質

根據矩陣乘法的定義，單位矩陣$I_{n}$的重要性質為：

$AI_{n}=A$且$I_{n}B=B$

單位矩陣的特徵值皆為1，任何向量都是單位矩陣的特徵向量。具有重數 $n$。因為特徵值之積等於行列式，所以單位矩陣的行列式為1。因為特徵值之等於跡數，單位矩陣的跡為$n$。