幾何數論

在數論中，幾何數論（英語：Geometry of numbers）研究凸體和在n維空間整數點向量問題。幾何數論於1910由赫爾曼·閔可夫斯基創立。幾何數論和數學其它領域有密切的關係，尤其研究在泛函分析和丟番圖逼近中，對有理數向無理數逼近問題。^[1]

閔可夫斯基的結果

閔可夫斯基定理，有時也被稱為閔可夫斯基第一定理：

假設Γ是在n維歐氏空間Rⁿ的格和K是中心對稱凸體，

vol(K)>2^{n}vol(R^{n}/\Gamma )

，則K包含Γ非零的向量。

閔可夫斯基第二定理，是他的第一定理加強。定義K數字λ最大下界，為 λ_k，稱為連續最低。

則λK在Γ中ķ線性無關，則有：

\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}vol(K)\leq 2^{n}vol(R^{n}/\Gamma ).

近現代幾何數論研究

在1930年至1960年的很多數論學家取得了很多成果（包括路易·莫德爾，哈羅德·達文波特和卡爾·路德維希·西格爾）。近年來，Lenstra，奧比昂，巴爾維諾克對組合理論的擴展對一些凸體的格數量進行了列舉。

施密特子空間定理
在幾何數論的子空間定理，由沃爾夫岡·施密特在1972年證明
設n是正整數，如果n個n維線性型L₁,...,L_n都具有代數係數，並且是線性無關的，那麼對於任何給定的實數ε> 0，所有滿足條件: $|L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\epsilon }$ 的n維非零整數點x都在有限多個Qⁿ的真子空間內。

對泛函分析的影響

始於閔可夫斯基的幾何數論在泛函分析上產生深遠的影響。閔可夫斯基證明，對稱凸體誘導有限維向量空間的範數。閔可夫斯基定理由柯爾莫哥洛夫推廣到拓撲向量空間。柯爾莫哥洛夫的定理證明有界閉對稱凸集生成Banach空間的拓撲。當前Kalton et alia. Gardner對星形集和非凸集取得了一些成果。

參考文獻

^ Schmidt's books. Grötschel et alia, Lovász et alia, Lovász.

延伸閱讀

Matthias Beck, Sinai Robins. Computing the continuous discretely: Integer-point enumeration in polyhedra, Undergraduate texts in mathematics, Springer, 2007.
Enrico Bombieri; Vaaler, J. On Siegel's lemma. Inventiones Mathematicae. Feb 1983, 73 (1): 11–32. doi:10.1007/BF01393823. ^{[永久失效連結]}
Enrico Bombieri and Walter Gubler. Heights in Diophantine Geometry. Cambridge U. P. 2006.
J. W. S. Cassels. An Introduction to the Geometry of Numbers. Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (reprint of 1959 and 1971 Springer-Verlag editions).
John Horton Conway and N. J. A. Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer-Verlag, NY, 3rd ed., 1998.
R. J. Gardner, Geometric tomography, Cambridge University Press, New York, 1995. Second edition: 2006.
P. M. Gruber, Convex and discrete geometry, Springer-Verlag, New York, 2007.
P. M. Gruber, J. M. Wills (editors), Handbook of convex geometry. Vol. A. B, North-Holland, Amsterdam, 1993.
M. Grötschel, L. Lovász, A. Schrijver: Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization, Springer, 1988
Hancock, Harris. Development of the Minkowski Geometry of Numbers. Macmillan. 1939. (Republished in 1964 by Dover.)
Edmund Hlawka, Johannes Schoißengeier, Rudolf Taschner. Geometric and Analytic Number Theory. Universitext. Springer-Verlag, 1991.
Kalton, Nigel J.; Peck, N. Tenney; Roberts, James W., An F-space sampler, London Mathematical Society Lecture Note Series, 89, Cambridge: Cambridge University Press: xii+240, 1984, ISBN 0-521-27585-7, MR 0808777
C. G. Lekkerkererker. Geometry of Numbers. Wolters-Noordhoff, North Holland, Wiley. 1969.
Lenstra, A. K.; Lenstra, H. W., Jr.; Lovász, L. Factoring polynomials with rational coefficients. Mathematische Annalen. 1982, 261 (4): 515–534. MR 0682664. doi:10.1007/BF01457454.
L. Lovász: An Algorithmic Theory of Numbers, Graphs, and Convexity, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 50, SIAM, Philadelphia, Pennsylvania, 1986
Malyshev, A.V., Geometry of numbers, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Minkowski, Hermann, Geometrie der Zahlen, Leipzig and Berlin: R. G. Teubner, 1910, MR 0249269
Wolfgang M. Schmidt. Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections])
Wolfgang M. Schmidt.Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000.
Siegel, Carl Ludwig. Lectures on the Geometry of Numbers. Springer-Verlag. 1989.
Rolf Schneider, Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
Anthony C. Thompson, Minkowski geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 1996.

[1] Schmidt's books. Grötschel et alia, Lovász et alia, Lovász.

[1]