几何数论

在数论中，几何数论（英语：Geometry of numbers）研究凸体和在n维空间整数点向量问题。几何数论于1910由赫尔曼·闵可夫斯基创立。几何数论和数学其它领域有密切的关系，尤其研究在泛函分析和丢番图逼近中，对有理数向无理数逼近问题。^[1]

闵可夫斯基的结果

闵可夫斯基定理，有时也被称为闵可夫斯基第一定理：

假设Γ是在n维欧氏空间Rⁿ的格和K是中心对称凸体，

vol(K)>2^{n}vol(R^{n}/\Gamma )

，则K包含Γ非零的向量。

闵可夫斯基第二定理，是他的第一定理加强。定义K数字λ最大下界，为 λ_k，称为连续最低。

则λK在Γ中ķ线性无关，则有：

\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}vol(K)\leq 2^{n}vol(R^{n}/\Gamma ).

近现代几何数论研究

在1930年至1960年的很多数论学家取得了很多成果（包括路易·莫德尔，哈罗德·达文波特和卡尔·路德维希·西格尔）。近年来，Lenstra，奥比昂，巴尔维诺克对组合理论的扩展对一些凸体的格数量进行了列举。

施密特子空间定理
在几何数论的子空间定理，由沃尔夫冈·施密特在1972年证明
设n是正整数，如果n个n维线性型L₁,...,L_n都具有代数系数，并且是线性无关的，那么对于任何给定的实数ε> 0，所有满足条件: $|L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\epsilon }$ 的n维非零整数点x都在有限多个Qⁿ的真子空间内。

对泛函分析的影响

始于闵可夫斯基的几何数论在泛函分析上产生深远的影响。闵可夫斯基证明，对称凸体诱导有限维向量空间的范数。闵可夫斯基定理由柯尔莫哥洛夫推广到拓扑向量空间。柯尔莫哥洛夫的定理证明有界闭对称凸集生成Banach空间的拓扑。当前Kalton et alia. Gardner对星形集和非凸集取得了一些成果。

参考文献

^ Schmidt's books. Grötschel et alia, Lovász et alia, Lovász.

延伸阅读

Matthias Beck, Sinai Robins. Computing the continuous discretely: Integer-point enumeration in polyhedra, Undergraduate texts in mathematics, Springer, 2007.
Enrico Bombieri; Vaaler, J. On Siegel's lemma. Inventiones Mathematicae. Feb 1983, 73 (1): 11–32. doi:10.1007/BF01393823. ^{[永久失效链接]}
Enrico Bombieri and Walter Gubler. Heights in Diophantine Geometry. Cambridge U. P. 2006.
J. W. S. Cassels. An Introduction to the Geometry of Numbers. Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (reprint of 1959 and 1971 Springer-Verlag editions).
John Horton Conway and N. J. A. Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer-Verlag, NY, 3rd ed., 1998.
R. J. Gardner, Geometric tomography, Cambridge University Press, New York, 1995. Second edition: 2006.
P. M. Gruber, Convex and discrete geometry, Springer-Verlag, New York, 2007.
P. M. Gruber, J. M. Wills (editors), Handbook of convex geometry. Vol. A. B, North-Holland, Amsterdam, 1993.
M. Grötschel, L. Lovász, A. Schrijver: Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization, Springer, 1988
Hancock, Harris. Development of the Minkowski Geometry of Numbers. Macmillan. 1939. (Republished in 1964 by Dover.)
Edmund Hlawka, Johannes Schoißengeier, Rudolf Taschner. Geometric and Analytic Number Theory. Universitext. Springer-Verlag, 1991.
Kalton, Nigel J.; Peck, N. Tenney; Roberts, James W., An F-space sampler, London Mathematical Society Lecture Note Series, 89, Cambridge: Cambridge University Press: xii+240, 1984, ISBN 0-521-27585-7, MR 0808777
C. G. Lekkerkererker. Geometry of Numbers. Wolters-Noordhoff, North Holland, Wiley. 1969.
Lenstra, A. K.; Lenstra, H. W., Jr.; Lovász, L. Factoring polynomials with rational coefficients. Mathematische Annalen. 1982, 261 (4): 515–534. MR 0682664. doi:10.1007/BF01457454.
L. Lovász: An Algorithmic Theory of Numbers, Graphs, and Convexity, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 50, SIAM, Philadelphia, Pennsylvania, 1986
Malyshev, A.V., Geometry of numbers, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Minkowski, Hermann, Geometrie der Zahlen, Leipzig and Berlin: R. G. Teubner, 1910, MR 0249269
Wolfgang M. Schmidt. Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections])
Wolfgang M. Schmidt.Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000.
Siegel, Carl Ludwig. Lectures on the Geometry of Numbers. Springer-Verlag. 1989.
Rolf Schneider, Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
Anthony C. Thompson, Minkowski geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 1996.

[1] Schmidt's books. Grötschel et alia, Lovász et alia, Lovász.

[1]