標準矩

在機率論和統計學中，一個機率分布的標準矩是經過標準化後的中心矩（通常是較高階的中心矩）。標準化通常是將其除以標準差的過程，這樣做可以使得標準矩對縮放和離散程度皆能保持一致， 在比較不同機率分布的形狀時更為方便。

定義

設X為一隨機變量，其機率密度函數為f、平均值為 ${\textstyle \mu =\mathrm {E} [X]}$ (一階原點矩)，則第k階標準矩為${\frac {\mu _{k}}{\sigma ^{k}}}\!$， 其中$\mu _{k}$是第k階中心矩：

$\mu _{k}=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{k}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{k}f(x)\mathrm {d} x$

$\sigma ^{k}$為標準差的k次方：

$\sigma ^{k}={\Bigl (}{\sqrt {\mathrm {E} [(X-\mu )^{2}]}}{\Bigr )}^{k}$

以通式表示：

${\hat {\mu }}_{k}={\frac {\mu _{k}}{\sigma ^{k}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{k}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{k/2}}}$

性質

• 中心矩為k次齊次函數：$\mu _{k}(\lambda X)=\lambda ^{k}\mu _{k}(X)$
• 標準矩具有縮放不變性。
• 由於上述標準矩的定義中將矩的因次消除了，因此標準矩為無因次量。

常用的標準矩

以下列出前4個標準矩：

階數 k	定義	說明
1	${\hat {\mu }}_{1}={\frac {\mu _{1}}{\sigma ^{1}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{1}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{1/2}}}=0$	一階標準矩恆為0， 因為一階中心矩恆為0。
2	${\hat {\mu }}_{2}={\frac {\mu _{2}}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{2/2}}}=1$	二階標準矩恆為1， 因為二階中心矩即為變異數$\sigma ^{2}$。
3	${\hat {\mu }}_{3}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{3}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{3/2}}}$	三階標準矩用於定義偏度。
4	${\hat {\mu }}_{4}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{4}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{4/2}}}$	四階標準矩用於定義峰度。

參見

• 中心矩
• 矩