線性代數中,初等矩陣(又稱為基本矩陣[1])是一個與單位矩陣只有微小區別的矩陣。具體來說,一個 n 階單位矩陣 E 經過一次初等行變換或一次初等列變換所得矩陣稱為 n 階初等矩陣。[2]

線性代數
向量 · 向量空間 · 基底  · 行列式  · 矩陣

操作

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初等矩陣分為3種類型,分別對應着3種不同的列/行變換。

兩列(行)互換:
 
把某列(行)乘以一非零常數:
 其中 
把第 i 列(行)加上第 j 列(行)的 k 倍:
 

初等矩陣即是將上述 3 種初等變換應用於一單位矩陣的結果。以下只討論對某列的變換。

列互換

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此變換 Ti j 將單位矩陣的第 i 列的所有元素與第 j 列互換。

 

性質

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  • 逆矩陣即自身: 
  • 因為單位矩陣的行列式為1,故  。對所有階數相同的方陣 A 亦有以下性質: 

把某列乘以一非零常數

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此變換 Ti(m) 將第 i 列的所有元素乘以一個非零常數 m。

 

性質

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  • 逆矩陣為  
  • 此矩陣及其逆矩陣均為對角矩陣
  • 其行列式  ,故對所有階數相同的方陣 A 都有  

把第 i 列加上第 j 列的 m 倍

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此變換 Ti j(m) 將第 i 列加上第 j 列的 m 倍,其中 m 為第 i 行第 j 列的元素。

 

性質

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  • 逆矩陣具有性質  
  • 此矩陣及其逆矩陣均為三角矩陣
  • 其行列式  ,故對所有階數相同的方陣 A 有  

應用

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在解線性方程組中的應用

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初等行變換不影響線性方程組的解,也可用於高斯消元法,用於逐漸將係數矩陣化為標準形。初等列變換不改變矩陣的(故不改變解集),但改變了矩陣的。反過來,初等行變換沒有改變像卻改變了核。

用於求解一個矩陣的逆矩陣

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有的時候,當矩陣的階數比較高的時候,使用其行列式的值和伴隨矩陣求解其逆矩陣會產生較大的計算量。這時,通常使用將原矩陣和相同列行數的單位矩陣並排,再使用初等變換的方法將這個並排矩陣的左邊化為單位矩陣,這時,右邊的矩陣即為原矩陣的逆矩陣[3]

另見

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注釋

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  1. ^ elementary matrix - 基本矩陣. 國家教育研究院. [2014-04-23]. (原始內容存檔於2014-09-13). 
  2. ^ 藍以中. 高等代数简明教程(上册) 第二版. 北京大學出版社. 2007: 123. ISBN 978-7-301-05370-6. 
  3. ^ 戴立輝. 线性代数. 同濟大學出版社. ISBN 9787560843063. 

參考

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  • Axler, Sheldon Jay, Linear Algebra Done Right 2nd, Springer-Verlag, 1997, ISBN 0387982590 
  • Lay, David C., Linear Algebra and Its Applications 3rd, Addison Wesley, August 22, 2005, ISBN 978-0321287137 
  • Meyer, Carl D., Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), February 15, 2001 [2010-07-02], ISBN 978-0898714548, (原始內容存檔於2001-03-01) 
  • Poole, David, Linear Algebra: A Modern Introduction 2nd, Brooks/Cole, 2006, ISBN 0-534-99845-3 
  • Anton, Howard, Elementary Linear Algebra (Applications Version) 9th, Wiley International, 2005 
  • Leon, Steven J., Linear Algebra With Applications 7th, Pearson Prentice Hall, 2006