整数分拆
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一个正整数可以写成一些正整数的和。在数论上,跟这些和式有关的问题称为整数拆分、整数剖分、整数分割、分割数或切割数(英语:Integer partition)。其中最常见的问题就是给定正整数,求不同数组的数目,符合下面的条件:
- (的大小不定)
- 其他附加条件(例如限定“k是偶数”,或“不是1就是2”等)
分割函数p(n)是求符合以上第一、二个条件的数组数目。
拆分数量数列
编辑4可以用5种方法写成和式:4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1。因此 。
定义 ,若n为负数则 。
分割函数p(n),n从0开始:
- 1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77......(OEIS:A000041)
程式实现
编辑#include <iostream>
#define MAXLENTH 20000
using namespace std;
int main() {
const int len = MAXLENTH;
long num[len + 1] = { 1 }; // 即使使用long也会快速溢出
for (int i = 1; i <= len; ++i)
for (int j = i; j <= len; ++j)
num[j] += num[j - i];
for (int i = 0; i <= len; i++)
cout << i << " " << num[i] << endl;
return 0;
}
Ferrers图示与恒等式
编辑每种分割方法都可用Ferrers图示表示。
Ferrers图示是将第1行放 个方格,第2行放 个方格……第 行放 个方格,来表示整数分割的其中一个方法。
借助Ferrers图示,可以推导出许多恒等式:
- 给定正整数k和n,n表达成不多于k个正整数之和的方法数目,等于将n分割成任意个不大于k的正整数之和的方法数目。
证明:将表示前者其中一个数组的Ferrers图示沿对角线反射,便得到后者的一个数组。即两者一一对应,因此其数目相同。
例如 k=3,n=6:
|
↔ | |||
6 | = | 1+1+4 | = | 1+1+1+3 |
|
↔ | |||
6 | = | 1+2+3 | = | 1+2+3 |
|
↔ | |||
6 | = | 2+2+2 | = | 3+3 |
此外,
- 上述恒等式的值亦等于将 表达成刚好 个正整数之和的方法的数目。
- 给定正整数 。将 表达成两两相异正整数之和的方法的数目,等于将 表达成奇数之和的方法的数目。
例如 :
- 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
- 7 + 1
- 3 + 3 + 1 + 1
- 5 + 3
- 5 + 1 + 1 + 1
- 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
- 8
- 7 + 1
- 6 + 2
- 5 + 3
- 5 + 2 + 1
- 4 + 3 + 1
- 将 表达成 个1和 个2之和,这些方法的数目是第 个斐波那契数。
- 将 表达成多于1的正整数之和的方法数目是p(n) - p(n-1)。
生成函数
编辑的生成函数是
当|x|<1,右边可写成:
生成函数的倒数为欧拉函数,利用五边形数定理可得到以下的展开式:
将 生成函数配合五边形数定理,可以得到以下的递归关系式
其中 是第 个广义五边形数。
与杨图的关系
编辑一个杨图唯一地对应于一个整数分拆,也就是说整数分拆的个数等于相应的杨图的个数。如图所示的杨图表示一个10=5+4+1的分拆。利用杨图来表示的分拆更直观性且易操作。
分拆的共轭
编辑将整数分拆(10=5+4+1)对应的杨图进行行列反转得到新的杨图(共轭杨图)。它对应的分拆为10=3+2+2+2+1。
Rademacher级数
编辑渐近式:
这式子是1918年哈代和拉马努金,以及1920年J. V. Uspensky独立发现的。
1937年,Hans Rademacher得出一个更佳的结果:
其中
- 。
Elder定理
编辑在将 表示成正整数之和的所有和式之中,任意正整数 作为和项出现在这些式子内的次数,跟每条和式中出现 次或以上的正整数数目,相同。
以 为例:
- 5
- 4+1
- 3+2
- 3+1+1
- 2+2+1
- 2+1+1+1
- 1+1+1+1+1
- 1的总出现次数:0+1+0+2+1+3+5=12;在每条和式出现1次或以上的数的数目:1+2+2+2+2+2+1=12
- 2的总出现次数:0+0+1+0+2+1+0=4;在每条和式出现2次或以上的数的数目:0+0+0+1+1+1+1=4。
附加要求的分拆
编辑以下叙述带有附加条件的分拆。
差分拆
编辑考虑满足下面条件分拆
- ( 的大小不定)
- 即分拆的每个数都不相等。
生成函数是
奇分拆
编辑考虑满足下面条件分拆
- ( 的大小不定)
- 要求 为奇数
生成函数是
- .
引理
编辑差分拆的个数与奇分拆的个数是一样多的。
可以通过杨表证明。
部分个数上限的分拆
编辑当限定将 表示成刚好 个正整数之和时,可以表示为 。显然, 。
- 对于 ,
- (OEIS:A004526)
- = 最接近 的正整数。(OEIS:A069905)
其他常见的问题
编辑不少数学家亦有研究按以下方式分拆的方法数目:
- 将正整数写成模p同馀r的正整数之和
- 将模p同馀r正整数写成的正整数之和[3]
参考资料
编辑- ^ A Fine Rediscovery (PDF). [2015-11-07]. (原始内容存档 (PDF)于2016-02-22).
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Elder's Theorem. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2015-11-07]. (原始内容存档于2020-03-18) (英语).
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Partition Function P Congruences. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2006-08-20]. 原始内容存档于2021-02-26 (英语).
外部链接
编辑- Lectures on Integer Partitions (页面存档备份,存于互联网档案馆) by Herbert S. Wilf