对称群 (n次对称群)
数学上,集合X上的对称群记作SX或Sym(X)。它的元素是所有X到X自身的双射。由于恒等函数是双射,双射的反函数也是双射,并且两个双射的复合仍是双射,这个集合关于函数的复合成为群,即是置换群Sym(X)。两个函数的复合一般记作f o g,在置换群的表示里简记作fg。
![](http://up.wiki.x.io/wikipedia/commons/thumb/b/b5/Symmetric_group_4%3B_Cayley_graph_4%2C9.svg/300px-Symmetric_group_4%3B_Cayley_graph_4%2C9.svg.png)
对称群在很多不同的数学领域中,都扮演了重要角色。包括:伽罗华理论、不变量理论、李群的表示理论和组合学等等。
有限置换群
编辑各种置换群中,有限集合上的置换群有着特殊的重要性。
- 令X = {1,...,n},
称X上的对称群是Sn。 X上所有的排列构成了全部一一映射的集合,因此,Sn有n!个元素。对n > 2,Sn不是阿贝尔群。当且仅当n ≤ 4时,Sn是可解群。对称群的子群称为置换群。
置换的乘积
编辑对称群中,两个置换的乘积就是指双射函數的复合,由符号"∘"(U+2218 ∘ )來表示,也可以省略。例如:
f与g的复合应先适用g,其后适用f。那么在g中的次序1将先被映射為元素2,然后再由 f的次序2变换成元素2,g的次序2先映射為5,然后由 f的次序5变换成4;3被 f∘g变换成5,如此类推。所以 f乘以g是:
容易证明长度为L =k·m的轮换(或稱循環,如下節敘述),它的k次方会分解为k个长度为m的轮换。比如(k = 2, m = 3):
- 。
对换
编辑对换指只交换集合中的两个元素而使其他元素仍变换到自身的置换,例如(1 3)。每个置换都能写成一系列对换的乘积。比如上例中的g = (1 2)(2 5)(3 4)。
由于g能被写成奇数个对换的乘积,g是一个奇置换。与此相反的,f是一个偶置换。
一个置换表达成对换乘积的方式不是唯一的,但每种表达方式中对换的个数的奇偶性不变,可以据此定义奇置换和偶置换。
两个偶置换的乘积是偶置换,两个奇置换的乘积是偶置换,奇置换和偶置换的乘积是奇置换,偶置换和奇置换的乘积是奇置换。于是可以定义置换的正負號(sign):
在这个定义下,
- sgn: Sn → {+1,-1}
是一个群同态。({+1,-1}关于乘法构成群),这个同态的同态核是所有的偶置换,称作n次交错群,记作An。它是Sn的正规子群,有n! / 2个元素。
置换的正負號也可以定义为:
其中n-O(n)表示置换f的轮换指数,O(n)表示置换f的轨道(orbit)数。群Sn是An和由一個單一對換生成的任何子群的半直積。
轮换
编辑轮换指一种置换f,使得对集合{1,...,n}中的某个x,x, f(x), f2(x), ..., fk(x) = x是f作用下不映射到自身的所有元素。比如说,以下的置换h
就是一个轮换。因为h(1) = 4, h(3) = 1,h(4) = 3。2,5不变。我们将这个轮换记作(1 4 3),它的长度是3。轮换的阶数等于它的长度。如果两个轮换移动的元素皆不相同,则称它们不交。不交的轮换是可交换的,例如(3 1 4)(2 5 6) = (2 5 6)(3 1 4)。每个Sn中的元素都可以写成若干个互不相交的轮换的乘积。如果不计轮换的排列次序,这种表示是唯一的。
共轭类
编辑Sn的共轭类是对于置换轮换表达的结构来说的。两个置换共轭,当且仅当在它们的轮换表达中,轮换的数量以及长度都相等。比如说,在S5中, (1 2 3)(4 5)与(1 4 3)(2 5)共轭,但不与(1 2)(4 5)共轭。