對稱群 (n次對稱群)
數學上，集合X上的對稱群記作SX或Sym(X)。它的元素是所有X到X自身的對射。由於恆等函數是對射，對射的反函數也是對射，並且兩個對射的複合仍是對射，這個集合關於函數的複合成為群，即是置換群Sym(X)。兩個函數的複合一般記作f o g，在置換群的表示里簡記作fg。
對稱群在很多不同的數學領域中，都扮演了重要角色。包括：伽羅華理論、不變量理論、李群的表示理論和組合學等等。
有限置換群
編輯各種置換群中，有限集合上的置換群有着特殊的重要性。
- 令X = {1,...,n}，
稱X上的對稱群是Sn。 X上所有的排列構成了全部一一映射的集合，因此，Sn有n!個元素。對n > 2，Sn不是阿貝爾群。當且僅當n ≤ 4時，Sn是可解群。對稱群的子群稱為置換群。
置換的乘積
編輯對稱群中，兩個置換的乘積就是指對射函數的複合，由符號"∘"（U+2218 ∘ ）來表示，也可以省略。例如：
f與g的複合應先適用g，其後適用f。那麼在g中的次序1將先被映射為元素2，然後再由 f的次序2轉換成元素2，g的次序2先映射為5，然後由 f的次序5轉換成4；3被 f∘g轉換成5，如此類推。所以 f乘以g是：
容易證明長度為L =k·m的輪換(或稱循環，如下節敘述)，它的k次方會分解為k個長度為m的輪換。比如(k = 2, m = 3)：
- 。
對換
編輯對換指只交換集合中的兩個元素而使其他元素仍轉換到自身的置換，例如(1 3)。每個置換都能寫成一系列對換的乘積。比如上例中的g = (1 2)(2 5)(3 4)。
由於g能被寫成奇數個對換的乘積，g是一個奇置換。與此相反的，f是一個偶置換。
一個置換表達成對換乘積的方式不是唯一的，但每種表達方式中對換的個數的奇偶性不變，可以據此定義奇置換和偶置換。
兩個偶置換的乘積是偶置換，兩個奇置換的乘積是偶置換，奇置換和偶置換的乘積是奇置換，偶置換和奇置換的乘積是奇置換。於是可以定義置換的正負號（sign）：
在這個定義下，
- sgn: Sn → {+1,-1}
是一個群同態。({+1,-1}關於乘法構成群)，這個同態的同態核是所有的偶置換，稱作n次交錯群，記作An。它是Sn的正規子群，有n! / 2個元素。
置換的正負號也可以定義為：
其中n-O(n)表示置換f的輪換指數，O(n)表示置換f的軌道（orbit）數。群Sn是An和由一個單一對換生成的任何子群的半直積。
輪換
編輯輪換指一種置換f，使得對集合{1,...,n}中的某個x，x, f(x), f2(x), ..., fk(x) = x是f作用下不映射到自身的所有元素。比如說，以下的置換h
就是一個輪換。因為h(1) = 4, h(3) = 1，h(4) = 3。2，5不變。我們將這個輪換記作(1 4 3)，它的長度是3。輪換的階數等於它的長度。如果兩個輪換移動的元素皆不相同，則稱它們不交。不交的輪換是可交換的，例如(3 1 4)(2 5 6) = (2 5 6)(3 1 4)。每個Sn中的元素都可以寫成若干個互不相交的輪換的乘積。如果不計輪換的排列次序，這種表示是唯一的。
共軛類
編輯Sn的共軛類是對於置換輪換表達的結構來說的。兩個置換共軛，當且僅當在它們的輪換表達中，輪換的數量以及長度都相等。比如說，在S5中， (1 2 3)(4 5)與(1 4 3)(2 5)共軛，但不與(1 2)(4 5)共軛。