康威多面体表示法

康威多面体表示法是用来描述多面体的一种方法。一般是用种子多面体（seed）为基础并标示对种子多面体做的操作或运算。

种子多面体一般都为正多面体或正多边形密铺，表示的字母则取他们名字的第一个字母，例如:

另外柱体和锥体也可以作为种子，并以它是底面边数加一个字母表示:

例如种子“P5”是指五角柱、“P10”是指十角柱、“Y6”是指六角锥、“J86”是指球状屋顶、“A86”是指86角反棱柱。

任何凸多面体皆可以当作种子，前提是它可以执行操作或运算。

何顿·康威提出这个想法, 就像克卜勒的截角定义,建立相关的多面体相同的对称性。它的多面体表示法能从正多面体种子表示所有阿基米德立体、半正多面体和卡塔兰立体。在一系列的应用中，康威多面体表示法可以产生许多高阶多面体。

多面体的运算

下面列出康威多面体表示法中，多面体的运算符号，那些运算通常类似几何变换，并以 (v,e,f) 表示进行该运算或操作后多面体的变化。

基本操作
运算符	运算符号名称	别名	英文名	替代同构	顶点	边	面	描述
	原像		Seed		v	e	f	来源种子
d	对偶		dual		f	e	v	产生对偶多面体-每个顶点创建一个新的面，或面的重心当作新的顶点。
a	截半		ambo		e	2e	2 + e	边是新的顶点，旧的顶点消失，或将边的中点当作新的顶点。(rectify)
j	会合		join	da	e + 2	2e	e	每个面都加入上当高的锥体，使相邻面的锥体各有一面互相共面，形成四边形。
t	截角		truncate	dkd	2e	3e	e + 2	截去所有顶点 conjugate kis
k	n角化		kis	dtd	e + 2	3e	2e	每个面都加入角锥.
i	过截角	双截角	--	dk	2e	3e	e + 2	Dual of kis. (bitruncation)
n	--		--	kd	e + 2	3e	2e	Kis of dual
e	小斜方扩展（英语：Expansion (geometry)）		expand	aa = aj	2e	4e	2e + 2	在每个顶点建立新的面，并在各边建立四边形。 (cantellate)
o	正交	菱形鸢形有时作四角化	ortho	de = ja = jj	2e + 2	4e	2e	每个n边形面被分割成n个四边形。
b	大斜方		bevel	ta	4e	6e	2e + 2	加入新的面代替边和顶点 (在高维多胞体称为cantitruncation).)
m	元	有时作三角化	meta	db = kj	2e + 2	6e	4e	将n边形的面切割成2n个三角形

扩展操作
运算符	运算符号名称	别名	英文名	替代同构	顶点	边	面	描述	例子
	原像		Seed		v	e	f	Seed form
r	手性镜像	镜射	reflect		v	e	f	产生手性镜像
h	交错半^*		half ^*		v/2	e	f+v/2	Alternation, remove half vertices, limited to seed polyhedra with even-sided faces
	部分截半部分截角		uncompleted rectifie/truncate		e	2e	2 + e	对某些条件面截半，其馀面截角	tO→ 结果
c	倒角		chamfer		v + 2e	4e	f + e	将边用六边形取代	T→ 结果
	双倒角				v + 2e	4e	f + e	将边用两个五边形取代
-			-	dc	f + e	4e	v + 2e
p	旋转		propellor (Hart)		v + 2e	4e	f + e	将面旋转，并在顶点建立四边形 (self-dual)
-			-	dp = pd	f + e	4e	v + 2e
s	扭棱		snub	dg = hta	2e	5e	3e + 2	“扩大和扭曲” - 每个顶点创建一个面，每条边创建了两个新的三角形
g	陀螺		gyro	ds	3e + 2	5e	2e	每个n边形面被切割成n个五边形。
w	旋面		whirl		v+4e	7e	f+2e	将面旋转，并在顶点建立与原面相似但是旋转的新面此操作会在边上建立两个六边形
-			-	dw	f+2e	7e	v+4e	旋面的对偶

这些运算符号的运算优先顺序皆为由右至左。例如：

所有的操作都保有对称性，除了s和g是扭曲的像并失去了镜射对称。

正方体 "seed"	截半	截角	双截角（Bitruncation）	离面（Cantellation）	大斜方截半（Omnitruncation）	扭棱（Snub）
C	aC = djC	tC = dkdC	tdC = dkC	eC = aaC = doC	bC = taC = dmC = dkjC	sC = dgC
对偶	加入锥体 (相邻共面)		加入锥体 (到外接球)	正交 (edge-bisect)	元 (full-bisect)	陀螺
dC	jC = daC	kdC = dtC	kC = dtdC	oC = deC = daaC	mC = dbC = kjC	gC = dsC

所有的五个正多面体皆可以从棱柱种子经过零至两个运算或操作而产生：

锥体: Y3 (正四面体是一个特别的角锥)
- T = Y3
- O = aY3 (截半四面体)
- C = daY3 (截半四面体的对偶多面体)
- I = sY3 (扭棱四面体)
- D = dsY3 (扭棱四面体的对偶多面体)
反柱体: A3 (正八面体是一个特别的反柱体)
- O = A3
- C = dA3
柱体: P4 (正方体是一个特别的柱体)
- C = P4
五角反棱柱: A5
- I = k5A5 (特殊的双锥反柱体)
- D = t5dA5 (特殊的截角偏方面体)

上述的运算和操作可以从正多面体种子或柱体锥体的种子产生所有的半正多面体、卡塔兰立体、柏拉图立体和阿基米德立体。许多多面体都可由高阶的组合操作还表示，但是某些特别的多面体需要更多的符号来表示。

例如，几何艺术家 George W. Hart定义他的操作称为"propellor"，和另一个反映创建镜像图像的旋转形式"reflect"。

为了表达詹森多面体，诺曼·詹森也定义了一些符号来表达它的多面体^[1]

下列种子都必须要在后面加注边数:
- P = 柱体 (Prism)
- A = 反棱柱 (Antiprism)
- Y = 锥体 (Pyramid)
- Q = 帐塔
- R = 罩帐
- L = 三面单元组成一个正方形和对立的三角形
- U = n边形，旁边有三角形交替的边。
- J = 直接表示詹森多面体，加注的数字代表詹森多面体的编号。
扩展的符号:
- + = 将符号后的种子加到符号前的种子之适当的面，可省略
- - = 在符号前的种子上照到跟符号后种子相同的部分并切除之
- × = 将符号前动作做符号后的次数次，符号后必为常数，可省略
- () = 将种子括号并指定动作
例如:
- "Y3P3" = Y3 + P3 = 正三角锥柱
- "-Q3tT" = -Q3 + tT = tT - Q3 = 侧台塔截角四面体
- "-(Q5)2eD" = eD - (Q5)×2 = 侧台塔小斜方截半二十面体欠二侧台塔

下面扩展符号也可以用于康威多面体表示法，但是在施莱夫利符号中，更为常用。

例如:

例如: 球面的正五边形密铺:正十二面体种子 (D)
D	tD	aD	tdD	eD	teD	sD
dD					dteD

例如:欧几里得平面的正六边形密铺种子 (H)
H	tH	aH	tdH = H	eH	teH	sH
dH	dtH	daH	dtdH = dH	deH	dteH	dsH

例如: 双曲面的正七边形密铺种子 ( {7,3} )
{7,3} "seed"	truncate	ambo (rectify)	bitruncate	expand (cantellate)	bevel (omnitruncate)	snub
{7,3}	t{7,3}	a{7,3}	dk{7,3}	e{7,3}	b{7,3}	s{7,3}
dual		join	kis (vertex-bisect)	ortho (edge-bisect)	meta (full-bisect)	gyro
d{7,3}	dt{7,3}	j{7,3}	k{7,3}	o{7,3}	m{7,3}	g{7,3}