不等

数学上，不等是表明两个对象的大小或者顺序的二元关系，与相等相对。不等关系主要有四种：

$a<b$ ，即 $a$ 小于 $b$
$a>b$ ，即 $a$ 大于 $b$

上述两个属于严格不等。

$a\leq b$ ，即 $a$ 小于等于 $b$
$a\geq b$ ，即 $a$ 大于等于 $b$
$a\neq b$ ，即 $a$ 不等于 $b$

将两个表达式用不等符号连起来，就构成了不等式。

若不等关系对变量的所有元素都成立，则称其为“绝对的”或“无条件的”。若不等关系只对变量的部分取值成立，而对另一部分将改变方向或失效，则称为条件不等。

不等式两边同时加或减相同的数，或者两边同时乘以或除以同一个正数，不等关系不变。不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等关系改变方向。

符号 $a\gg b$ 表示 $a$ “远大于” $b$ 。其含义是不确定的，可以是 100 倍的差异，也可能是10个数量级的差异。和方程相联系，它被用来给出一个非常大的值而使方程的输出满足一个特定的结果。

性质

不等具有下列性质：

三一律：

对任意实数

a

、

b

，只有下列之一是真的：

$a<b$
$a=b$
$a>b$

调换性质：

对任意实数

a

、

b

：

$a<b$ 和 $b>a$ 是等价的。
$a\leq b$ 和 $b\geq a$ 是等价的。

传递性：

对任意实数

a

、

b

、

c

：

如果 $a<b$ 且 $b<c$ ，则 $a<c$ 。
如果 $a\leq b$ 且 $b\leq c$ ，则 $a\leq c$ 。
如果 $a<b$ 且 $b\leq c$ ，则 $a<c$ 。
如果 $a\leq b$ 且 $b<c$ ，则 $a<c$ 。

加法性质：

对任意实数

a

、

b

、

c

：

若 $a>b$ ；则 $a+c>b+c$ 。
若 $a<b$ ；则 $a+c<b+c$ 。

乘法性质：

对任意实数

a

、

b

、

c

，且有

c\neq 0

：

若 $c$ 为正数且 $a>b$ ；则 $ac>bc$ 。
若 $c$ 为正数且 $a<b$ ；则 $ac<bc$ 。
若 $c$ 为负数且 $a>b$ ；则 $ac<bc$ 。
若 $c$ 为负数且 $a<b$ ；则 $ac>bc$ 。

注意：当遇上不等关系求解时，比如已知 $A>B$ ， $C>D$ ，不可以认为 $A-C>B-D$ ，但根据此描述可知 $A-D>B-C$ 是真的。

链式表示法

$a<b<c$ 代表“ $a<b$ 且 $b<c$ ”。
$a\leq b\leq c$ 代表“ $a\leq b$ 且 $b\leq c$ ”。
$a<b\leq c$ 代表“ $a<b$ 且 $b\leq c$ ”。
$a\leq b<c$ 代表“ $a\leq b$ 且 $b<c$ ”。

举例

若 $x>0$ ；则

x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}},

若 $x>0$ ；则

x^{x^{x}}\geq x\,

若 $x,y,z>0$ ；则

(x+y)^{z}+(x+z)^{y}+(y+z)^{x}>2\,

若 $x,y,z>0$ ；则

x^{x}y^{y}z^{z}\geq (xyz)^{\frac {x+y+z}{3}},

若 $a,b>0$ ；则

a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}\,

若 $a,b>0$ ；则

a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}\,

若 $a,b,c>0$ ；则

a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}\,

若 $a_{1},\ldots ,a_{n}>0$ ；则

a_{1}^{a_{2}}+a_{2}^{a_{3}}+\cdots +a_{n}^{a_{1}}>1

对于实数

a

、

b

、

c

、

d

，若

a<b

且

c<d

；则

a+c<b+d

例-1

证明

a<b

(10) [前提]

c<d

(15) [前提]

a-b<0

(20) 源自 (10)

0<d-c

(25) 源自 (15)

(20) 及 (25) 经由递移性质可以得到

a-b<d-c

(30) 源自 (20) (25)

a-b+(b+c)<d-c+(b+c)

(35) 源自 (30)

a+c<b+d

(40) 源自 (35) [结论]

对于实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ ，若 $a<b$ 且 $c<d$ ；则

a-d<b-c

例-2

证明

a<b

(45) [前提]

c<d

(50) [前提]

-c>-d

(55) 源自 (50)

-d<-c

(60) 源自 (55)

(45) 及 (60) 经由 (例-1) 可以得到

a+(-d)<b+(-c)

(65) 源自 (45) (60)

a-d<b-c

(70) 源自 (65) [结论]

参见