β-二项式分布

Β-二项式分布，或称贝塔-二项式分布，是概率论与统计学中的有限空间取值的一类离散型概率分布函数。它与一般二项式分布的不同之处，在于它虽然也是表示一系列已知次数的伯努利实验的成功概率，但其中的伯努利实验的常数变成了一个随机变量。作为过度散布的二项式分布，Β-二项式分布在贝叶斯统计、经验贝叶斯方法以及经典统计学中都常常用到。

Β-二项式分布

概率质量函数
累积分布函数
参数	n ∈ N0 —试验次数 $\alpha >0$ （实数） $\beta >0$ （实数）
值域	k ∈ { 0, …, n }
概率质量函数	${n \choose k}{\frac {\mathrm {B} (k+\alpha ,n-k+\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!$
累积分布函数	$1-{\tfrac {\mathrm {B} (\beta +n-k-1,\alpha +k+1)_{3}F_{2}({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}};k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )\mathrm {B} (n-k,k+2)(n+1)}}$ ，其中 3F2(a,b,k)=3F2(1,α+k+1, -n+k+1,k+2, -β-n+k +2,1) 是广义超几何分布
期望值	${\frac {n\alpha }{\alpha +\beta }}\!$
方差	${\frac {n\alpha \beta (\alpha +\beta +n)}{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!$
偏度	${\tfrac {(\alpha +\beta +2n)(\beta -\alpha )}{(\alpha +\beta +2)}}{\sqrt {\tfrac {1+\alpha +\beta }{n\alpha \beta (n+\alpha +\beta )}}}\!$
矩生成函数	$_{2}F_{1}(-n,\alpha ;\alpha +\beta ;1-e^{t})\!$ ${\text{for }}t<\log _{e}(2)$
特征函数	$_{2}F_{1}(-n,\alpha ;\alpha +\beta ;1-e^{it})\!$ ${\text{for }}|t|<\log _{e}(2)$

当试验次数 n = 1 的时候，Β-二项式分布退化为伯努利分布，而在α = β = 1 的时候，Β-二项式分布则退化为取值从0 到 n 的离散型均匀分布。当 α 和 β 足够大的时候，它能够任意逼近二项式分布。Β-二项式分布也是多变量波利亚分布在一元时的情况，正如二项式分布和Β分布分别是多项分布和狄利克雷分布在一元时的情况一样。

矩相关性质

Β-二项式分布的前三个矩分别是：

${\begin{aligned}\mu _{1}&={\frac {n\alpha }{\alpha +\beta }}\\[8pt]\mu _{2}&={\frac {n\alpha [n(1+\alpha )+\beta ]}{(\alpha +\beta )(1+\alpha +\beta )}}\\[8pt]\mu _{3}&={\frac {n\alpha [n^{2}(1+\alpha )(2+\alpha )+3n(1+\alpha )\beta +\beta (\beta -\alpha )]}{(\alpha +\beta )(1+\alpha +\beta )(2+\alpha +\beta )}}\end{aligned}}$

而峰度则是：

$\gamma _{2}={\frac {(\alpha +\beta )^{2}(1+\alpha +\beta )}{n\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +n)}}\left[(\alpha +\beta )(\alpha +\beta -1+6n)+3\alpha \beta (n-2)+6n^{2}-{\frac {3\alpha \beta n(6-n)}{\alpha +\beta }}-{\frac {18\alpha \beta n^{2}}{(\alpha +\beta )^{2}}}\right].$

设 $\pi ={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!$ 那么数学期望可以表示成

$\mu ={\frac {n\alpha }{\alpha +\beta }}=n\pi \!$

而方差则是：

$\sigma ^{2}={\frac {n\alpha \beta (\alpha +\beta +n)}{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}=n\pi (1-\pi ){\frac {\alpha +\beta +n}{\alpha +\beta +1}}=n\pi (1-\pi )[1+(n-1)\rho ]\!$

其中 $\rho ={\tfrac {1}{\alpha +\beta +1}}\!$ 是 n 个伯努利变量的关联系数，称为散布系数。

参见

• 多变量波利亚分布

参考来源

• Minka, Thomas P. (2003). Estimating a Dirichlet distribution （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Microsoft Technical Report.

外部链接

• 使用Β-二项式分布来对生物识别设备的性能作出估计 （页面存档备份，存于互联网档案馆）