杨对称化子

杨对称化子（英语：Young symmetrizer），是表示论中的一种工具，用于构造对称群${S}_{n}$的不可约表示。

定义

• ${S}_{n}$是 n次对称群
• $\mathbb {C} {S}_{n}$是${S}_{n}$的群环
• $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdot \cdot \cdot ,\lambda _{k})$表示一个杨图
  • 其中$\lambda _{1}+\cdot \cdot \cdot +\lambda _{k}=n$是n的整数分拆。
• $P=\{g\in {S}_{n}|$杨表中任一行所构成的集合都在 $g$ 下不变$\}$
• $Q=\{g\in {S}_{n}|$杨表中任一列所构成的集合都在 $g$ 下不变$\}$
• $a_{\lambda }=\sum _{g\in P}e_{g}\in \mathbb {C} {S}_{n}$
• $b_{\lambda }=\sum _{g\in Q}\operatorname {sgn}(g)e_{g}\in \mathbb {C} {S}_{n}$

其中 $e_{g}$ 是对应于 $g$ 的单位向量， $\operatorname {sgn}(g)$ 是 $g$ 的置换符号。于是乘积

• $c_{\lambda }:=a_{\lambda }b_{\lambda }\in \mathbb {C} {S}_{n}$

就称为杨对称化子(Young symmetrizer)。

参考书目

• William Fulton / Joe Harris (1991): "Representation Theory", ISBN 0-387-97495-4 , pp.46,45