圆锥曲线
圆锥曲线(英語:conic section),又稱圓錐截痕、圓錐截面、二次平面曲线,是数学、幾何學中透过平切圆锥(嚴格為一个正圆锥面和一个平面完整相切)得到的曲线,包括圆,椭圆,抛物线,双曲线及一些退化类型。
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圆锥曲线在約西元前200年時就已被命名與研究,其發現者為古希臘的數學家阿波羅尼奥斯,當时阿波羅尼阿斯已对它们的性质做過系统性的研究。
圆锥曲线应用最广泛的定义为(椭圆,抛物线,双曲线的统一定义):动点到一定点(焦点)的距离与其到一定直线(准线)的距离之比为常数(離心率)的点的集合是圆锥曲线。对于得到椭圆,对于得到抛物线,对于得到双曲线。
定义
编辑设 为定点, 为定直线, 为正常数,称满足 的动点 的轨迹为圆锥曲线。
由此可知,圆锥曲线的极坐标参数方程为 或 (正负号由所选焦点与定直线所处的位置不同而引起)。 其中 为 与极轴的夹角, 为定直线 ,即准线到焦点的距离。
将参数方程转换成直角坐标方程易得,
圆锥曲线的类型
编辑圆锥曲线 | 方程 | 離心率(e) | 半焦距(c) | 半正焦弦(ℓ) | 焦点准线距离(p) |
---|---|---|---|---|---|
圓 | |||||
橢圓 | |||||
拋物線 | |||||
雙曲線 |
椭圆,圆:当平面只与圆锥面一侧相交,交截线是闭合曲线的时候,且不过圆锥顶点,结果为椭圆。如果截面与圆锥面的对称轴垂直,结果为圆。
抛物线:截面仅与圆锥面的一条母线平行,结果为抛物线。
双曲线:截面与圆锥面两侧都相交,且不过圆锥顶点,结果为双曲线。
在平面通过圆锥的顶点的时候,有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。
几何性质
编辑椭圆(ellipse)
编辑椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长(2a)。
抛物线(Parabola)
编辑抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
双曲线(Hyperbola)
编辑双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于貫轴长(2a)。
离心率
编辑对于椭圆和双曲线,可以采用两种焦点-准线组合,每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是 ,这里的 是椭圆的半长轴,或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是 。
在圆的情况下, 且准线被假想为离中心无限远。这时声称圆由距离是到L的距离的e倍的所有点组成是没有意义的。
圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。
对于一个给定的 , 越接近于1,半短轴就越小。
笛卡尔坐标
编辑在笛卡尔坐标系内,二元二次方程的圖像可以表示圓錐曲線,并且所有圓錐曲線都以這種方式引出。方程有如下形式
- 此處參數 , 和 不得皆等於 。
矩陣表示
编辑亦可以寫作
這是在射影幾何中使用的齊次形式的一個特例。 (参见齐次坐标)
下文中記 ,記 。
類別
编辑藉由 ,我們可以判定圓錐曲線是否退化。
- 若 ,則圓錐曲線 退化。
- 若 ,則圓錐曲線 未退化。
若圓錐曲線未發生退化,則[2]
- 若 , 方程表示一個橢圓;
- 對於橢圓,當 時, 爲一個實橢圓;當 時 爲一個虛橢圓。(例如, 沒有任何實值解,是一個虛橢圓)
- 特別的,若 , 且 ,作爲橢圓的特殊情況, 表示一個圓。
- 若 , 表示一條拋物線;
- 若 , 表示一條雙曲線;
- 若 , 表示一條直角雙曲線。
若圓錐曲線發生退化,則
- 若 ,作爲橢圓的退化, 爲一個點。
- 若 ,作爲拋物線的退化, 爲兩條平行直線。
- 若 , 爲兩條不重合的平行直線。
- 若 , 爲兩條重合的平行直線。(特別的,此時 的秩爲1)
- 若 , 直線不存在與實平面中。
- 若 ,作爲雙曲線的退化, 爲兩條相交直線。(同時,也是雙曲線的漸近線)
在此處的表達中, 和 爲多項式係數,而非半長軸 和半短軸 。
不變量
编辑矩陣 、 的行列式,以及 ( 的跡)在任意的旋轉和座標軸的交換中保持不變。[2][3][4] [5]:60–62頁 常數項 以及 僅在旋轉中保持不變。[5]:60–62頁
離心率
编辑的離心率可被寫作關於 係數的函數。[6] 若 , 爲 拋物線,其離心率爲1。其它情況下,假設 表達一個未退化的橢圓或雙曲線,那麼
此處若 爲負則 ;若 爲正則 。
此外,離心率 也是下述方程的一個正根[5]:89頁
此處 。對於橢圓或拋物線,該方程只有一個正根,即其離心率;對於雙曲線,其有兩個正根,其中的一個爲其離心率。
轉換爲標準方程
编辑對於橢圓或雙曲線, 可用變換後的變量 表示爲如下所示的標準形式[7]
或等價的
此處, 和 爲 的特徵值,也即下述方程的兩根:
同時, , 。
透過座標變換,各種類型的圓錐曲線都可以表示爲其標準形式:
方程式 | 圆 | 椭圆 | 抛物线 | 双曲线 |
---|---|---|---|---|
标准方程式 | ||||
参数方程式 | 或 |
极坐标
编辑圆锥曲线的半正焦弦(semi-latus rectum)通常指示为 ,是从单一焦点或两个焦点中的一个,到圆锥曲线自身的,沿着垂直于主轴(长轴)的直线度量的距离。它有关于半长轴 ,和半短轴 ,通过公式 或 。
在极坐标系中,圆锥曲线有一个焦点在原点,如果有另一个焦点的话它在正x轴上,给出自方程
- ,
或者,
- ,
如上,对于 得到一个圆,对于 得到椭圆,对于 得到抛物线,对于 得到双曲线。
齐次坐标
编辑在齐次坐标下圆锥曲线可以表示为:
或表示为矩阵:
矩阵 叫做“圆锥曲线矩阵”。
叫做圆锥曲线的行列式。如果 则这个圆锥曲线被称为退化的,这意味着圆锥曲线是两个直线的联合(两相交直线,两平行直线或两重合直线)或一点。。
例如,圆锥曲线 退化为两相交直线: 。
类似的,圆锥曲线有时退化为两重合直线(两直线重合成一条): 。
被称为圆锥曲线的判别式。如果 则圆锥曲线是抛物线,如果 则是双曲线,如果 则是椭圆。如果 且 ,圆锥曲线是圆;如果 且 ,它是直角双曲线。可以证明在複射影平面 中,两个圆锥曲线共有四个点(如果考虑重根),所以永不多于4个交点并总有1个交点(可能性:4个不同的交点,2个单一交点和1个双重交点,2个双重交点,1单一交点和1个三重交点,1个四重交点)。如果存在至少一个重根 的交点,则两个圆锥曲线被称为相切的。如果只有一个四重交点,两个圆锥曲线被称为是共振的。
进一步的,每个直线与每个圆锥曲线相交两次。如果两交点是重合成一点,则这个线被称为切线。因为所有直线交圆锥曲线两次,每个圆锥曲线有两个点在无穷远(与无穷远线的交点)。如果这些点是实数的,圆锥曲线必定是双曲线;如果它们是虚共轭,圆锥曲线必定是椭圆,如果圆锥曲线有双重点在无穷远,则它是抛物线。如果在无穷远的点是 和 ,则圆锥曲线是圆。如果圆锥曲线有一个实数点和一个虚数点在无穷远,或它有两个不共轭的虚数点,它不是抛物线、不是椭圆、不是双曲线。
参考文献
编辑- ^ Brannan, Esplen & Gray 1999,第30頁
- ^ 2.0 2.1 Protter & Morrey 1970,第326頁
- ^ Wilson & Tracey 1925,第153頁
- ^ Pettofrezzo, Anthony, Matrices and Transformations, Dover Publ., 1966, p. 110.
- ^ 5.0 5.1 5.2 Spain, Barry, Analytical Conics, Dover, 2007 (originally published 1957 by Pergamon Press).
- ^ Ayoub, Ayoub B., "The eccentricity of a conic section," The College Mathematics Journal 34(2), March 2003, 116–121.
- ^ Ayoub, A. B., "The central conic sections revisited", Mathematics Magazine 66(5), 1993, 322–325.