虛功原理 闡明,一個物理系統處於靜態平衡 (static equilibrium ),若且唯若 ,所有施加的外力,經過符合約束條件 的虛位移,所做的虛功的總和等於零[ 1] [ 2] 。以方程式表達,
δ
W
=
∑
i
F
i
⋅
δ
r
i
=
0
{\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}
。
考慮一個由一群質點 組成,呈靜態平衡的物理系統,其內部任意一個質點
P
i
{\displaystyle P_{i}}
可能感受到很多個作用力。這些作用力的總和
F
i
(
T
)
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}}
等於零:
F
i
(
T
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}=0}
。
給予這質點
P
i
{\displaystyle P_{i}}
虛位移
δ
r
i
{\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}
,則合力
F
i
(
T
)
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}}
所做的虛功
δ
W
i
{\displaystyle \delta W_{i}}
為零:
δ
W
i
=
F
i
(
T
)
⋅
δ
r
i
=
0
{\displaystyle \delta W_{i}=\mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}
。
總合這系統內做於每一個質點的虛功,其答案也是零:
δ
W
=
∑
i
F
i
(
T
)
⋅
δ
r
i
=
0
{\displaystyle \delta W=\sum _{i}\ \mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}
。
將合力細分為外力
F
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}}
與約束力
C
i
{\displaystyle \mathbf {C} _{i}}
:
δ
W
=
∑
i
F
i
⋅
δ
r
i
+
∑
i
C
i
⋅
δ
r
i
=
0
{\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}
。
假設所有約束力所做的符合約束條件的虛功,其總合是零[ 3] :
∑
i
C
i
⋅
δ
r
i
=
0
{\displaystyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}
,
則約束力項目可以從方程式中除去,從而得到虛功原理的方程式:
δ
W
=
∑
i
F
i
⋅
δ
r
i
=
0
{\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}
。
注意到這推論裏的約束力假設。在這裏,約束力就是牛頓第三定律 的反作用力 。因此,可以稱此假設為反作用力的虛功假設 :所有反作用力所做的符合約束條件的虛功,其總合是零。這是分析力學額外設立的假設,無法從牛頓運動定律 推導出來[ 1] 。
在動力學 裏,虛功原理會被推廣為達朗貝爾原理 。這原理是拉格朗日力學 的理論基礎。更詳盡細節,請參閱相關條目。
在此特別列出幾個案例,展示出約束力所做的符合約束條件的虛功的總合是零:
剛體 的約束條件是一種完整約束 ,以方程式表達,
(
r
i
−
r
j
)
2
=
L
i
j
2
{\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}=L_{ij}^{2}}
;其中,剛體內部的質點
P
i
{\displaystyle P_{i}}
、
P
j
{\displaystyle P_{j}}
的位置分別為
r
i
{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}
、
r
j
{\displaystyle \mathbf {r} _{j}}
,它們之間的距離
L
i
j
{\displaystyle L_{ij}}
是個常數。所以,兩個質點的虛位移
δ
r
i
{\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}
、
δ
r
j
{\displaystyle \delta \mathbf {r} _{j}}
之間的關係為
δ
(
r
i
−
r
j
)
2
=
2
(
r
i
−
r
j
)
(
δ
r
i
−
δ
r
j
)
=
0
{\displaystyle \delta (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}=2(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})(\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})=0}
。
在這裏,有兩種可能的狀況:
1、
δ
r
i
=
δ
r
j
{\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\delta \mathbf {r} _{j}}
:
對於這狀況,由於
C
j
i
=
−
C
i
j
{\displaystyle \mathbf {C} _{ji}=-\mathbf {C} _{ij}}
,兩個作用力所做的虛功相互抵銷,也就是說,
C
i
j
⋅
δ
r
i
+
C
j
i
⋅
δ
r
j
=
0
{\displaystyle \mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {C} _{ji}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=0}
,
所以,約束力所做的虛功的總合是零。
2、
(
r
i
−
r
j
)
⊥
(
δ
r
i
−
δ
r
j
)
{\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\perp (\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})}
:
由於
C
i
j
‖
C
j
i
‖
(
r
i
−
r
j
)
{\displaystyle \mathbf {C} _{ij}\ \|\ \mathbf {C} _{ji}\ \|\ (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})}
,
C
i
j
⋅
δ
r
i
+
C
j
i
⋅
δ
r
j
=
C
i
j
⋅
δ
r
i
−
C
i
j
⋅
δ
r
j
=
C
i
j
⋅
(
δ
r
i
−
δ
r
j
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {C} _{ji}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=\mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=\mathbf {C} _{ij}\cdot (\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})=0}
。
所以,約束力所做的虛功的總合是零。
所以,在剛體內,質點與質點之間的約束力所作的虛功的總合是零。
思考置放於平滑地面上的一塊木塊。因為木塊的重量,而產生的反作用力,是地面施加於木塊的一種約束力。注意到對於這案例,符合約束條件的虛位移必須與地面平行,所以,地面施加的約束力垂直於虛位移,它所作的虛功等於零。[ 3] 。
將一般的作用力和坐標分別變換為以廣義力
F
i
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}
和廣義坐標
q
i
{\displaystyle q_{i}}
表達,
δ
W
=
∑
i
F
i
δ
q
i
=
0
{\displaystyle \delta W=\sum _{i}{\mathcal {F}}_{i}\delta q_{i}=0}
。
設定一個
N
{\displaystyle N}
維位形空間 ,其坐標為
(
q
1
,
q
2
,
…
,
q
N
)
{\displaystyle (q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})}
,其內中表示位置的點稱為位形點 。想像這物理系統移動於這位形空間 。在這位形空間裏,廣義力
F
=
(
F
1
,
F
2
,
…
,
F
N
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}=(F_{1},F_{2},\dots ,F_{N})}
垂直於符合約束條件的虛位移
δ
q
=
(
δ
q
1
,
δ
q
2
,
…
,
δ
q
N
)
{\displaystyle \delta \mathbf {q} =(\delta q_{1},\delta q_{2},\dots ,\delta q_{N})}
。
假設,這物理系統沒有任何約束條件,則虛位移可以是任意向量。但是,廣義力
F
{\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}}
不可能垂直於
N
{\displaystyle N}
維位形空間裏的每一個向量,所以,廣義力
F
{\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}}
必須等於零。
假設,這物理系統有
L
{\displaystyle L}
個約束條件,則自由度為
N
−
L
{\displaystyle N-L}
,位形點必需處於位形空間的某
N
−
L
{\displaystyle N-L}
維子空間 ,而廣義力
F
{\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}}
必須垂直於這子空間 ,因此必需使用
N
−
L
{\displaystyle N-L}
個運動方程式來表達這物理系統。
假設這系統是保守系統 ,則每一個廣義力都是純量 的廣義位勢 函數
V
(
q
1
,
q
2
,
…
,
q
N
)
{\displaystyle V(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})}
的對於其對應的廣義坐標的負偏導數 :
F
i
=
−
∂
V
∂
q
i
{\displaystyle F_{i}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}}
。
虛功與廣義位勢的關係為
δ
W
=
∑
i
−
∂
V
∂
q
i
δ
q
i
=
−
δ
V
=
0
{\displaystyle \delta W=\sum _{i}-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}=-\delta V=0}
。
由於位勢的變分
δ
V
{\displaystyle \delta V}
等於零,一個靜態平衡系統的位勢
V
{\displaystyle V}
乃是個局域平穩值。注意到這系統只處於平穩狀態。假設,要求這系統處於穩定狀態,則位勢
V
{\displaystyle V}
必須是個局域極小值 。
^ 1.0 1.1 Lanczos, Cornelius, The Variational Principles of Mechanics, Dovers Publications, Inc: pp. 74–87, 1970, ISBN 978-0-486-65067-8
^ Torby, Bruce, Advanced Dynamics for Engineers, HRW Series in Mechanical Engineering, United States of America: CBS College Publishing: pp. 263, 1984, ISBN 0-03-063366-4 (英语)
^ 3.0 3.1 Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. Addison Wesley. 1980: pp. 17. ISBN 0201657023 (英语) .