蝴蝶定理 （Butterfly theorem），是古典歐氏平面幾何 的最精彩的結果之一。蝴蝶定理最先是作為一個徵求證明的問題，這個命題最早出現在1815年，而「蝴蝶定理」這個名稱最早出現在《美國數學月刊 》1944年2月號，題目的幾何圖形象一隻蝴蝶 ，便以此命名。這個定理的證法多得不勝枚舉，至今仍然被數學熱愛者研究，在考試中時有出現各種變形。
最基本的敘述為：設M 為圓內弦 PQ 的中點，過M 作弦AB 和CD 。設AD和BC 各相交PQ 於點X 和Y ，則M 是XY 的中點。
這個命題最早作為一個征解問題出現在公元1815年英國 的一本雜誌《男士日記》（Gentleman's Diary）39-40頁上。登出的當年,英國一個自學成才的中學數學教師W.G.霍納 （他發明了多項式 方程近似根的霍納法 ）給出了第一個證明，完全是初等的；另一個證明由理察·泰勒（Richard Taylor）給出。一種早期的證明由M.布蘭德（Miles Bland）在《幾何問題》（1827年）一書中給出。最為簡潔的證法是射影幾何 的證法，由英國的J·開世 在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"（中譯：近世幾何學初編，李儼 譯，上海商務印書館 1956 ）給出，只有一句話，用的是線束的交比 。1981年，Crux雜誌 刊登了K.薩蒂亞納拉亞納（Kesirajn Satyanarayana）用解析幾何 的一種比較簡單的方法（利用直線束，二次曲線束）。
該定理實際上是射影幾何 中一個定理的特殊情況，有多種推廣：
M，作為圓內弦是不必要的，可以移到圓外。
圓可以改為任意圓錐曲線 。
將圓變為一個完全四角形 ，M為對角線交點。
去掉中點的條件，結論變為一個一般關於有向線段的比例式，稱為「坎迪定理 」，
M
{\displaystyle M\,}
1
M
Y
−
1
M
X
=
1
M
Q
−
1
M
P
{\displaystyle {1 \over MY}-{1 \over MX}={1 \over MQ}-{1 \over MP}}
從
X
{\displaystyle X\,}
A
M
{\displaystyle AM\,}
D
M
{\displaystyle DM\,}
X
′
{\displaystyle X'\,}
X
″
{\displaystyle X''\,}
Y
{\displaystyle Y\,}
B
M
{\displaystyle BM\,}
C
M
{\displaystyle CM\,}
Y
′
{\displaystyle Y'\,}
Y
″
{\displaystyle Y''\,}
證明蝴蝶定理 現在，由於
△
M
X
X
′
∼
△
M
Y
Y
′
,
{\displaystyle \triangle MXX'\sim \triangle MYY',\,}
M
X
M
Y
=
X
X
′
Y
Y
′
,
{\displaystyle {MX \over MY}={XX' \over YY'},}
△
M
X
X
″
∼
△
M
Y
Y
″
,
{\displaystyle \triangle MXX''\sim \triangle MYY'',\,}
M
X
M
Y
=
X
X
″
Y
Y
″
,
{\displaystyle {MX \over MY}={XX'' \over YY''},}
△
A
X
X
′
∼
△
C
Y
Y
″
,
{\displaystyle \triangle AXX'\sim \triangle CYY'',\,}
X
X
′
Y
Y
″
=
A
X
C
Y
,
{\displaystyle {XX' \over YY''}={AX \over CY},}
△
D
X
X
″
∼
△
B
Y
Y
′
,
{\displaystyle \triangle DXX''\sim \triangle BYY',\,}
X
X
″
Y
Y
′
=
D
X
B
Y
,
{\displaystyle {XX'' \over YY'}={DX \over BY},}
從這些等式，可以很容易看出：
(
M
X
M
Y
)
2
=
X
X
′
Y
Y
′
X
X
″
Y
Y
″
,
{\displaystyle \left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}{XX'' \over YY''},}
=
A
X
.
D
X
C
Y
.
B
Y
,
{\displaystyle {}={AX.DX \over CY.BY},}
=
P
X
.
Q
X
P
Y
.
Q
Y
,
{\displaystyle {}={PX.QX \over PY.QY},}
=
(
P
M
−
X
M
)
.
(
M
Q
+
X
M
)
(
P
M
+
M
Y
)
.
(
Q
M
−
M
Y
)
,
{\displaystyle {}={(PM-XM).(MQ+XM) \over (PM+MY).(QM-MY)},}
由於
P
M
{\displaystyle PM\,}
M
Q
{\displaystyle MQ\,}
現在，
(
M
X
)
2
(
M
Y
)
2
=
(
P
M
)
2
−
(
M
X
)
2
(
P
M
)
2
−
(
M
Y
)
2
.
{\displaystyle {(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}.}
因此，我們得出結論：
M
X
=
M
Y
{\displaystyle MX=MY\,}
M
{\displaystyle M\,}
X
Y
{\displaystyle XY\,}
證畢。
