有限深方形阱

在量子力學裏，有限深方形阱，又稱為有限深位勢阱，是無限深方形阱的延伸。有限深方形阱是一個阱內位勢為0，阱外位勢為有限值的位勢阱。關於一個或多個粒子，在這種位勢作用中的量子行為的問題，稱為有限深位勢阱問題。與無限深方形阱問題不同的是，在阱外找到粒子的機率大於0。

有限深方形阱。阱寬為$L\,\!$。阱內位勢為0。在阱壁，位勢突然升高為$V_{0}\,\!$。阱外位勢保持為$V_{0}\,\!$。

在古典力學裏，假若，粒子的能量小於阱壁的位勢，則粒子只能移動於阱內，無法存在於阱外。截然不同地，在量子力學裏，雖然粒子的能量小於阱壁的位勢，在阱外找到粒子的機率大於0。

一維阱定義

一維有限深方形阱的阱寬為$L\,\!$，左邊阱壁與右邊阱壁的位置分別為$x=-L/2\,\!$與$x=L/2\,\!$。阱內位勢為0。在阱壁，位勢突然升高為$V_{0}\,\!$。阱外位勢保持為$V_{0}\,\!$。這一維阱將整個一維空間分為三個區域：阱左邊，阱內，與阱右邊。在每一個區域內，對應著不同的位勢，描述粒子的量子行為的波函數$\psi \,\!$也不同，標記為：

$\psi =\psi _{1}\,\!$：阱左邊，$x<-L/2\,\!$（阱外區域），

$\psi =\psi _{2}\,\!$：阱內，$-L/2<x<L/2\,\!$（阱內區域），

$\psi =\psi _{3}\,\!$：阱右邊，$x>L/2\,\!$（阱外區域）。

這些波函數，都必須滿足，一維不含時間的薛丁格方程式：

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi \,\!$；(1)

其中，$\hbar \,\!$是約化普朗克常數，$m\,\!$是粒子質量，$x\,\!$是粒子位置，$V(x)\,\!$是位勢，$E\,\!$是能量。

阱內區域

在阱內，位勢$V(x)=0\,\!$，方程式簡化為：

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=E\psi _{2}\,\!$。(2)

設定波數$k\,\!$為

$k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}\,\!$。(3)

代入方程式(2)：

${\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=-k^{2}\psi _{2}\,\!$。

這是一個經過頗多研究的二階常微分方程式。一般解本徵函數$\psi _{2}(x)\,\!$是正弦函數與餘弦函數的線性組合：

$\psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\quad \,\!$；

其中，$A\,\!$與$B\,\!$都是複值常數，由邊界條件而決定。

阱外區域

在阱外，位勢$V(x)=V_{0}>0\,\!$，薛丁格方程式為：

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=(E-V_{0})\psi _{1}\,\!$。

視能量是否大於位勢而定，有兩種不同的解答。一種是自由粒子解答，另一種是束縛粒子解答。

束縛態

假若，粒子的能量小於位勢：$E<V_{0}\,\!$，則這粒子束縛於位勢阱內．稱這粒子的量子態為束縛態（bound state）。設定

$\alpha ={\frac {\sqrt {2m(V_{0}-E)}}{\hbar }}\,\!$。(4)

代入方程式(1)：

${\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=\alpha ^{2}\psi _{1}\,\!$。

一般解是指數函數。所以，阱左邊區域與阱右邊區域的波函數分別是

$\psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\,\!$，

$\psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\,\!$；

其中，$F\,\!$，$G\,\!$，$H\,\!$，$I\,\!$都是常數。

從正確的邊界條件，可以找到常數$A\,\!$，$B\,\!$，$F\,\!$，$G\,\!$，$H\,\!$，$I\,\!$的值。

束縛態的波函數

薛丁格方程式的解答必須具有連續性與連續可微性。這些要求是前面導引出的微分方程式的邊界條件。

總結前面導引出的結果，波函數$\psi \,\!$的形式為：

$\psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\,\!$：阱左邊，$x<-L/2\,\!$（阱外區域），

$\psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\,\!$：阱內，$-L/2<x<L/2\,\!$（阱內區域），

$\psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\,\!$：阱右邊，$x>L/2\,\!$（阱外區域）。

當$x\,\!$趨向負無窮，包含$F\,\!$的項目趨向無窮。類似地，當$x\,\!$趨向無窮，包含$I\,\!$的項目趨向無窮。可是，波函數在任何$x\,\!$都必須是有限值。因此，必須設定$F=I=0\,\!$。阱外區域的波函數變為

$\psi _{1}(x)=Ge^{\alpha x}\,\!$，

$\psi _{3}(x)=He^{-\alpha x}\,\!$。

在阱左邊，隨著$x\,\!$越小，波函數$\psi _{1}(x)\,\!$呈指數遞減。而在阱右邊，隨著$x\,\!$越大，波函數$\psi _{3}(x)\,\!$呈指數遞減。這是合理的。這樣，波函數才能夠歸一化。

由於有限深方形阱對稱於$x=0\,\!$，可以利用這對稱性來省略計算步驟。波函數不是奇函數就是偶函數。

奇的波函數

假若，波函數$\psi \,\!$是奇函數，則

$\psi _{2}=A\sin(kx)\,\!$，

$G=-H\,\!$，

$\psi _{1}(-x)=-\psi _{3}(x),\qquad \qquad x\geq 0\,\!$，

由於整個波函數$\psi \,\!$必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配：

$\psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)\,\!$

$\left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=-L/2}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=-L/2}\,\!$

將波函數的公式代入：

$Ge^{-\alpha L/2}=-A\sin(kL/2)\,\!$，(5)

$\alpha Ge^{-\alpha L/2}=kA\cos(kL/2)\,\!$。(6)

方程式(6)除以方程式(5)，可以得到：

$\alpha =-k\cot(kL/2)\,\!$。

從方程式(3)與(4)，可以求得常數$\alpha \,\!$與波數$k\,\!$的關係：

$\alpha ^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}-k^{2}\,\!$。

所以，波數是離散的，必須遵守以下方程式：

$k^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}\sin ^{2}(kL/2)\,\!$。

這也造成了離散的能量。

偶的波函數

假若，波函數$\psi \,\!$是偶函數，則

$\psi _{2}=A\cos(kx)\,\!$，

$G=H\,\!$，

$\psi _{1}(-x)=\psi _{3}(x),\qquad \qquad x\geq 0\,\!$，

由於整個波函數$\psi \,\!$必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配：

$\psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)\,\!$

$\left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=-L/2}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=-L/2}\,\!$

將波函數的公式代入：

$Ge^{-\alpha L/2}=A\cos(kL/2)\,\!$，(7)

$\alpha Ge^{-\alpha L/2}=kA\sin(kL/2)\,\!$。(8)

方程式(8)除以方程式(7)，可以得到：

$\alpha =k\tan(kL/2)\,\!$。

從方程式(3)與(4)，可以求得常數$\alpha \,\!$與波數$k\,\!$的關係：

$\alpha ^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}-k^{2}\,\!$。

所以，波數是離散的，必須遵守以下方程式：

$k^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}\cos ^{2}(kL/2)\,\!$。

這也造成了離散的能量。

散射態

假若，一個粒子的能量大於位勢，$E>V_{0}\,\!$，則這粒子不會被束縛於位勢阱內。因此，在這裏，粒子的量子行為主要是由位勢阱造成的散射（scattering）行為。稱這粒子的量子態為散射態。稱這不被束縛的粒子為自由粒子。更強版的定義還要求位勢為常數。假若，一維空間分為幾個區域，只有在每個區域內，位勢為常數；而在區域與區域之間，位勢不相等，則稱此粒子為半自由粒子。自由粒子和半自由粒子的能量大於位勢，$E>V_{0}\,\!$，不會被束縛於位勢阱內，能量不是離散能量譜的特殊值，而是大於或等於$V_{0}\,\!$的任意值。波數$\kappa \,\!$，用方程式表達為$\kappa ={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }}\,\!$，也不是離散量。代入方程式(1)：

${\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=-\kappa ^{2}\psi _{1}\,\!$，

${\frac {d^{2}\psi _{3}}{dx^{2}}}=-\kappa ^{2}\psi _{3}\,\!$。

解答形式與阱內區域的解答形式相同：

$\psi _{1}=C_{1}\sin(\kappa x)+D_{1}\cos(\kappa x)\,\!$，

$\psi _{3}=C_{3}\sin(\kappa x)+D_{3}\cos(\kappa x)\,\!$。

其中，$C_{1}\,\!$、$D_{1}\,\!$、$C_{3}\,\!$、$D_{3}\,\!$，都是常數。

參閱

• 自由粒子
• 無限深方形阱
• 有限位勢壘
• 球對稱位勢
• Delta位勢阱
• Delta位勢壘
• 量子穿隧效應
• 盒中氣體