馮諾依曼穩定性分析

數值分析中, 馮諾依曼穩定性分析 (亦作傅立葉穩定性分析) 用於驗證計算線性偏微分方程時使用特定有限差分法數值穩定性[1],該分析方法基於對數值誤差的傅立葉分解。1947年英國研究人員約翰·克蘭克菲利斯·尼科爾森在文章中對該方法進行了簡要介紹[2], 爾後又出現在馮諾依曼合作的文章中 [3]洛斯阿拉莫斯國家實驗室對該方法進行了進一步發展。

數值穩定性

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數值穩定性與數值誤差密切相關。使用有限差分方法進行計算時,若任意時間步的誤差不會導致其後計算結果的發散,則可稱該有限差分法是數值穩定的。如果誤差隨著進一步計算降低最終消失,該算法被認為穩定;若誤差在進計算中保持為常量,則認為該算法「中性穩定」。但如果誤差隨著進一步計算增長,結果發散,則數值方法不穩定。數值方法的穩定性可以通過馮諾依曼穩定性分析得到驗證。穩定性一般不易分析,特別是針對非線性偏微分方程。

馮諾依曼穩定性方法只適用於滿足 Lax–Richtmyer 條件 (Lax 等價定理) 的某些特殊差分法: 偏微分方程系統須線性,常係數,滿足周期性邊界條件,只有兩個獨立變量,差分法中最多含兩層時間步[4]。 由於相對簡單,人們常使用馮諾依曼穩定性分析代替其他更為詳細的穩定性分析,用以估計差分方法中對容許步長的限制。

方法描述

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馮諾依曼誤差分析將誤差分解為傅立葉級數。為了描述此過程,考慮一維熱傳導方程

 

空間網格間隔為  , 對網格作 FTCS (Forward-Time Central-Space,時間步前向歐拉法,空間步三點中心差分) 離散處理,

 

其中    為離散網格上的數值解,用於近似此偏微分方程的精確解  

定義捨入誤差   。 其中   是離散方程 (1) 式的精確解,  為包含有限浮點精度的數值解。 因為精確解   滿足離散方程, 誤差   亦滿足離散方程 [5]

 

此式將確定誤差的遞推關係。方程 (1) 和 (2) 中,誤差和數值解隨時間具有一致的變化趨勢。對於含周期性邊界條件的線性微分方程,間隔   上的空間部分誤差可展開為傅立葉級數

 

其中波數    。 通過假設誤差幅度   是時間的函數,可以給出誤差和時間的關係。 不難知單步中,誤差隨時間指數增長,因此 (3) 式可以寫作

 

其中   為常量。

由於誤差所滿足的差分方程是線性的(級數每一項的行為與整個級數一致),只估計一項的誤差變化便足以估計整體趨勢:

 

為找出誤差隨時間步的變化, 將方程 (5) 式應用於離散後的誤差表達式上

  •  

再代入到 (2) 式中,求解方程後可得

 

使用已知的指數三角關係式

  

可以將方程 (6) 變作

 

定義漲幅因子

 

則誤差有限的充要條件為   。 已知

 

聯立 (7) 和 (8) 兩式,易得穩定性條件為

 

 

(10) 即為該算法的穩定性條件。 對於 FTCS 求解一維熱傳導方程,給定   , 所允許的   取值需要足夠小以滿足 (10) ,才能保證計算的數值穩定。

參考資料

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  1. ^ Analysis of Numerical Methods by E. Isaacson, H. B. Keller. [2011-05-20]. (原始內容存檔於2011-05-21). 
  2. ^ Crank, J.; Nicolson, P., A Practical Method for Numerical Evaluation of Solutions of Partial Differential Equations of Heat Conduction Type, Proc. Camb. Phil. Soc., 1947, 43: 50–67, doi:10.1007/BF02127704 
  3. ^ Charney, J. G.; Fjørtoft, R.; von Neumann, J., Numerical Integration of the Barotropic Vorticity Equation, Tellus, 1950, 2: 237–254 
  4. ^ Smith, G. D., Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods, 3rd ed.: 67–68, 1985 
  5. ^ Anderson, J. D., Jr. Computational Fluid Dynamics: The Basics with Applications. McGraw Hill. 1994.