极小多项式

在抽象代数中，一个域上的代数元 $\alpha$ 之极小多项式（或最小多项式）是满足 $P(\alpha )=0$ 的最低次首一多项式(多项式内最高次项之系数为1) $P$ 。此概念对线性代数与代数扩张的研究极有助益。

形式定义

设 $k$ 为一个域， $A$ 为有限维 $k$ -代数。对任一元素 $\alpha \in A$ ，集合 $\{1,\alpha ,\alpha ^{2},\ldots \}$ 张出有限维向量空间，所以存在非平凡的线性关系：

\sum _{i=0}^{n}c_{i}\alpha ^{i}=0\quad (c_{i}\in k)

可以假设 $c_{n}=1$ ，此时多项式 $f(X):=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}$ 满足 $f(\alpha )=0$ 。根据多项式环里的除法，可知这类多项式中只有一个次数最小者，称之为 $\alpha$ 的极小多项式。

由此可导出极小多项式的次数等于 $\dim _{k}k[\alpha ]$ ，而且 $\alpha$ 可逆当且仅当其极小多项式之常数项非零，此时 $\alpha ^{-1}$ 可以表成 $\alpha$ 的多项式。

矩阵的极小多项式

考虑所有 $n\times n$ 矩阵构成的 $k$ -代数 $M_{n}(k)$ ，由于 $\dim M_{n}(k)=n^{2}$ ，此时可定义一个 $n\times n$ 矩阵之极小多项式，而且其次数至多为 $n^{2}$ ；事实上，根据凯莱-哈密顿定理，可知其次数至多为 $n$ ，且其根属于该矩阵的特征值集。

极小多项式是矩阵分类理论（若尔当标准型、有理标准形）的关键。

极小多项式与代数扩张

设 $k'$ 为 $k$ 的有限扩张，此时可视 $k'$ 为有限维 $k$ -代数。根据域的性质，极小多项式必为素多项式。元素的迹数及范数等不变量可以从极小多项式的系数读出。