瞬子

瞬子(instanton)来自于运动方程式的经典解，无论在量子力学或量子场论，它都是有限的且为非零作用量。更精确地说，它是欧氏空间中经典场论运动方程式的解。它在量子场论中扮演重要角色：

在路径积分中，用于对物理系统的经典效应进行量子修正。
它们可用于研究许多物理系统的穿隧效应，例如杨-米尔斯理论。

4维杨-米尔斯瞬子

若

$S_{YM}=\int tr(F\wedge *F)$

是杨-米尔斯作用量（其中*是霍奇对偶），4维杨-米尔斯瞬子是下面公式的解：

${\frac {1}{2}}{\frac {\delta S_{YM}}{\delta A}}=d_{D}F=dF+[A,F]=0$

其中的 $d_{D}$ 是外共变导数。因为比安基恒等式

$d_{D}*F=0$

若

$F=\pm *F$

我们满足了上面的杨-米尔斯公式。解包括BPST瞬子。

陈-西蒙斯

第二陈类 / 陈作用量是

$\int _{M}c_{2}={\frac {1}{2}}({\frac {i}{2\pi }})^{2}\int _{M}tr(F^{2})={\frac {1}{2}}({\frac {i}{2\pi }})^{2}\int _{M}dCS_{3}={\frac {1}{2}}({\frac {i}{2\pi }})^{2}\int _{\partial M}CS_{3}$

在流形M的边界，既然上面的作用量，联络形式也逼近

$A\to 0\equiv gdg^{-1}$

这是因为

$A\equiv g(d+A)g^{-1}$

而且曲率形式

$F\to 0$

因为陈-西蒙斯形式

$CS_{3}=tr(AF-{\frac {1}{3}}A^{3})$

所以

$CS_{3}\to -tr(A^{3})/3$

$\int _{M}c_{2}=-{\frac {1}{2}}({\frac {i}{2\pi }})^{2}\int _{\partial M}tr(A^{3})/3={\frac {1}{24\pi ^{2}}}\int _{\partial M}tr(gdg^{-1})^{3}$

若M是R4，其边界是 $\partial M=\partial R^{4}=S_{\infty }^{3}$ ，一个3维球面。因为A是规范群G值的，A在边界定义一个从G到 $S^{3}$ 的函数。这样的函数是 第三同伦类 $\pi _{3}(G)=\mathbb {Z}$ 分类的。的确，上面的第二陈数是一个卷绕数。