对数常态分布

在概率论与统计学中，任意随机变量的对数服从常态分布,则这个随机变量服从的分布称为对数常态分布。如果 $Y$ 是常态分布的随机变量，则 $\exp(Y)$（指数函数）为对数常态分布；同样，如果 $X$ 是对数常态分布，则 $\ln X$为常态分布。 如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数常态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。 对于 $x>0$，对数常态分布的概率密度函数为

对数常态分布

概率密度函数 μ=0
累积分布函数 μ=0
参数	$\sigma \geq 0$ $-\infty \leq \mu \leq \infty$
值域	$x\in [0;+\infty )\!$
概率密度函数	${\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {\left[\ln(x)-\mu \right]^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$
累积分布函数	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {erf} \left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]$
期望	$e^{\mu +\sigma ^{2}/2}$
中位数	$e^{\mu }$
众数	$e^{\mu -\sigma ^{2}}$
方差	$(e^{\sigma ^{2}}\!\!-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}$
偏度	$(e^{\sigma ^{2}}\!\!+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}\!\!-1}}$
峰度	$e^{4\sigma ^{2}}\!\!+2e^{3\sigma ^{2}}\!\!+3e^{2\sigma ^{2}}\!\!-6$
熵	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu$
矩生成函数	(参见原始动差文本)
特征函数	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}$is asymptotically divergent but sufficient for numerical purposes

$f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(\ln x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}$

其中 $\mu$ 与 $\sigma$ 分别是变量对数的平均值与标准差。它的期望是

$\mathrm {E} (X)=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}$

方差为

$\mathrm {var} (X)=(e^{\sigma ^{2}}-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}.\,$

给定期望与方差，也可以用这个关系求 $\mu$ 与 $\sigma$

$\mu =\ln(\mathrm {E} (X))-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+{\frac {\mathrm {var} (X)}{\mathrm {E} (X)^{2}}}\right),$

$\sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {\mathrm {var} (X)}{\mathrm {E} (X)^{2}}}\right).$

与几何平均值和几何标准差的关系

对数常态分布、几何平均数与几何标准差是相互关联的。在这种情况下，几何平均值等于 $\exp(\mu )$，几何标准差等于 $\exp(\sigma )$。

如果采样数据来自于对数常态分布，则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间，就像用算术平均数与标准差估计常态分布的置信区间一样。

置信区间界	对数空间	几何
3σ 下界	$\mu -3\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }^{3}$
2σ 下界	$\mu -2\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }^{2}$
1σ 下界	$\mu -\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }$
1σ 上界	$\mu +\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }$
2σ 上界	$\mu +2\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }^{2}$
3σ 上界	$\mu +3\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }^{3}$

其中几何平均数 $\mu _{\mathrm {geo} }=\exp(\mu )$，几何标准差 $\sigma _{\mathrm {geo} }=\exp(\sigma )$

矩

原始矩为：

$\mu _{1}=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}$

$\mu _{2}=e^{2\mu +4\sigma ^{2}/2}$

$\mu _{3}=e^{3\mu +9\sigma ^{2}/2}$

$\mu _{4}=e^{4\mu +16\sigma ^{2}/2}$

或者更为一般的矩

$\mu _{k}=e^{k\mu +k^{2}\sigma ^{2}/2}.$

局部期望

随机变量 $X$ 在阈值 $k$ 上的局部期望定义为

$g(k)=\int _{k}^{\infty }(x-k)f(x)\,dx$

其中 $f(x)$ 是概率密度。对于对数正态概率密度，这个定义可以表示为

$g(k)=\exp(\mu +\sigma ^{2}/2)\Phi \left({\frac {-\ln(k)+\mu +\sigma ^{2}}{\sigma }}\right)-k\Phi \left({\frac {-\ln(k)+\mu }{\sigma }}\right)$

其中 $\Phi$ 是标准正态部分的累积分布函数。对数常态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应用，著名的Black-Scholes期权定价公式便可由此推导出。

参数的最大似然估计

为了确定对数常态分布参数 $\mu$ 与 $\sigma$ 的最大似然估计，我们可以采用与常态分布参数最大似然估计同样的方法。我们来看

$f_{L}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x}}\,f_{N}(\ln x;\mu ,\sigma )$

其中用 $f_{L}(\cdot )$ 表示对数常态分布的概率密度函数，用 $f_{N}(\cdot )$— 表示常态分布。因此，用与常态分布同样的指数，我们可以得到对数最大似然函数：

${\begin{matrix}\ell _{L}(\mu ,\sigma |x_{1},x_{2},...,x_{n})&=&-\sum _{k}\ln x_{k}+\ell _{N}(\mu ,\sigma |\ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n})=\\\\\ &=&\operatorname {constant} +\ell _{N}(\mu ,\sigma |\ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n}).\end{matrix}}$

由于第一项相对于 $\mu$ 与 $\sigma$ 来说是常数，两个对数最大似然函数 $\ell _{L}$ 与 $\ell _{N}$ 在同样的 $\mu$ 与 $\sigma$ 处有最大值。因此，根据常态分布最大似然参数估计器的公式以及上面的方程，我们可以推导出对数常态分布参数的最大似然估计

${\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{k}\ln x_{k}}{n}},\ {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum _{k}{\left(\ln x_{k}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}}{n}}.$

相关分布

• 如果 $Y=\ln(X)$ 与 $X\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma ^{2})$，则 $Y\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ 是常态分布。
• 如果 $X_{m}\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma _{m}^{2}),\ m={\overline {1...n}}$ 是有同样 $\mu$ 参数、而 $\sigma$ 可能不同的统计独立对数常态分布变量 ，并且 $Y=\prod _{m=1}^{n}X_{m}$，则 $Y$ 也是对数常态分布变量：$Y\sim \operatorname {Log-N} \left(n\mu ,\sum _{m=1}^{n}\sigma _{m}^{2}\right)$。

进一步的阅读资料

• Robert Brooks, Jon Corson 以及 J. Donal Wales 的 "The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion" （页面存档备份，存于互联网档案馆）, in Advances in Futures and Options Research, volume 7, 1994.

参考文献

• 对数常态分布, Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957)
• Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues （页面存档备份，存于互联网档案馆）, E. Limpert, W. Stahel and M. Abbt,. BioScience, 51 (5), p. 341–352 (2001).
• 对数常态分布特性, John Hull, in Options, Futures, and Other Derivatives 6E (2005). ISBN 0-13-149908-4
• Eric W. Weisstein et al. 对数常态分布 （页面存档备份，存于互联网档案馆） at MathWorld. Electronic document, 2006年10月26日造访.

参见

• 几何平均数
• 几何标准差
• 误差函数