如果取 为" 与 差距的上限";类似地,取 为" 与 差距的上限",那根据直观,可以将函数极限定义为:
- 若对所有的 ,存在 ,使得对所有的 ,只要 就有
其中 是要确保 越来越小时, 也会越来越小; 是为了凸显 是逼近而非等于 ,但对应的 是可以等于 的。
但对于实函数 逼近 时,考虑到 的部分;在 下是没有这样的 使得 且 的,但数值上 的确在 时很靠近 ,也就是 的部分局限了定义能覆盖的范围。
上面的例子表明以 的变化去限制 的变化通常是很困难的,但如果反过来从 出发,去找怎样的 会让 与 的差距小于 ,也就是从"若对所有的 存在 "出发的话,显然上面 的例子只要取 即可;而且在这个定义被满足的情况下,若进一步取 和 的最小值为 与 差距的上限,还是会有 ,这样就可以用 控制 的变化,而满足" 趋近于 时 趋近于 "的直观想法。
但实际上无法确保对所有 ,都有 使得 ,所以定义函数极限之前必须要求 为 的极限点。但大部分的情况会退而求其次的假设存在 使得 在 都有定义,也就是存在 的去心邻域使 都有定义,这样的话 会自动成为 的极限点。
为实函数, 为 的极限点且 ,若"对所有的 ,存在 ,使得对所有的 只要 就有 ",或以正式的逻辑符号表述为
则以 表示,称 为实函数 于 的极限。
由于"无穷大"不能直接定义成定义域 的极限点,可以退而求其次假设"对所有的 存在 使得 "。也就是直观上可以用定义域 里的点去逼近"无穷大"。那在这种条件下, ,且若"对所有 ,存在 ,使得对所有的 只要 时,有 ",或以正式的逻辑符号表述为
则称 为实函数 于正无穷大( )的极限,记作
类似的,若假设"对所有的 存在 使得 ",那在这种条件下, ,且若"对所有 ,存在 ,使得对所有的 只要 时,有 ",或以正式的逻辑符号表述为
则称 为实函数 于负无穷大( )的极限,记作