非歐幾里得幾何
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非歐幾里得幾何，簡稱非歐幾何，是多個幾何形式系統的統稱，與歐幾里得幾何的差別在於第五公設。
左：羅氏幾何（雙曲幾何）
中：歐幾里得幾何
右：黎曼幾何（橢圓幾何）
幾何原本第五公設
編輯- 從一點向另一點可以引一條直線。
- 任意線段能無限延伸成一條直線。
- 給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。
- 所有直角都相等。
- 如果一條線段與兩條直線相交，在某一側的內角和小於兩直角和，那麼這兩條直線在不斷延伸後，會在內角和小於兩直角和的一側相交。
長期以來，數學家們發現第五公設和前四個公設比較起來，顯得文字敘述冗長，而且也不那麼顯而易見。有些數學家還注意到歐幾里得在《幾何原本》一書中直到第29個命題中才用到，而且以後再也沒有使用。也就是說，在《幾何原本》中可以不依靠第五公設而推出前28個命題。因此，一些數學家提出，第五公設能不能不作為公設，而作為定理？能不能依靠前四個公設來證明第五公設？這就是幾何發展史上最著名的，爭論了長達兩千多年的關於「平行線理論」的討論。由於證明第五公設的問題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走的對不對？第五公設到底能不能證明？
羅巴切夫斯基幾何
編輯1820年代，俄國喀山大學教授羅巴切夫斯基在證明第五公設的過程中，走了另一條路。他提出了一個和歐氏平行公設相矛盾的命題，用它來代替第五公設，然後與歐氏幾何的前四個公設結合成一個公理系統，展開一系列的推理。他認為如果這個系統在基礎的推理中出現矛盾，就等於證明了第五公設。此即數學中的反證法。但是，在他極為細緻深入的推理過程中，得出了一個又一個在直覺上匪夷所思，但在邏輯上毫無矛盾的命題。最後，羅巴切夫斯基得出兩個重要的結論：
- 第五公設不能被證明。
- 在新的公理體系中展開的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無矛盾的新的定理，並形成了新的理論。這個理論像歐氏幾何一樣是完善的、嚴密的幾何學。
這種幾何學被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡稱羅氏幾何。這是第一個被提出的非歐幾何學。從羅氏幾何學中，可以得出一個極為重要的、具有普遍意義的結論：邏輯上不矛盾的一些公理都有可能提供一種幾何學。
鮑耶氏和高斯的貢獻
編輯幾乎在羅巴切夫斯基創立非歐幾何學的同時，匈牙利數學家鮑耶·雅諾什也發現了第五公設不可證明和非歐幾何學的存在。鮑耶在研究非歐幾何學的過程中也遭到了家庭、社會的冷漠對待。他的父親——數學家鮑耶·法爾卡什認為研究第五公設是耗費精力勞而無功的蠢事，勸他放棄這種研究。但鮑耶·雅諾什堅持為發展新的幾何學而辛勤工作。終於在1832年，在他的父親的一本著作裏，以附錄的形式發表了研究結果。
高斯也發現第五公設不能證明，並且研究了非歐幾何。但是高斯害怕這種理論會遭到當時教會力量的打擊和迫害，不敢公開發表自己的研究成果，只是在書信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出來公開支持羅巴切夫斯基、鮑耶他們的新理論。
非歐幾何分類
編輯
按幾何不變量（曲率），現存非歐幾何的類型可以概括如下：
這三種幾何學，都是常曲率空間中的幾何學，分別對應曲率為0、負常數和正常數的情況。
如果完全去掉第五公設，就得到更加一般化的絕對幾何。這種幾何不僅可以囊括前面提到的三種幾何，而且允許空間的不同位置有不同的曲率。黎曼幾何是描述任意維數任意彎曲的絕對幾何空間的一種微分幾何學。
一般來講，非歐幾何有廣義、狹義、通常意義三個不同含義：