遞歸(英語:Recursion),又譯為遞迴,在數學電腦科學中,是指在函數的定義中使用函數自身的方法。遞歸一詞還較常用於描述以自相似方法重複事物的過程。例如,當兩面鏡子相互之間近似平行時,鏡中巢狀的圖像是以無限遞歸的形式出現的。也可以理解為自我複製的過程。

德羅斯特效應是遞歸的一種視覺形式。圖中女性手持的物體中有一幅她本人手持同一物體的小圖片,進而小圖片中還有更小的一幅她手持同一物體的圖片,依此類推。

正式定義

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數學和電腦科學中,遞歸指由一種(或多種)簡單的基本情況定義的一類物件或方法,並規定其他所有情況都能被還原為其基本情況。

例如,下列為某人祖先的遞歸定義:

  • 某人的雙親是他的祖先(基本情況)。
  • 某人祖先的雙親同樣是某人的祖先(遞歸步驟)。

斐波那契數列是典型的遞歸案例:

  •  (初始值)
  •  (初始值)
  • 對所有大於1的整數n: (遞歸定義)

儘管有許多數學函數均可以遞歸表示,但在實際應用中,遞歸定義的高開銷往往會讓人望而卻步。例如:

  •  (初始值)
  • 對所有大於0的整數n: (遞歸定義)

一種便於理解的心理模型,是認為遞歸定義對物件的定義是按照「先前定義的」同類物件來定義的。例如:你怎樣才能移動100個箱子?答案:你首先移動一個箱子,並記下它移動到的位置,然後再去解決較小的問題:你怎樣才能移動99個箱子?最終,你的問題將變為怎樣移動一個箱子,而這時你已經知道該怎麼做的。

如此的定義在數學中十分常見。例如,集合論對自然數的正式定義是:1是一個自然數,每個自然數都有一個後繼,這一個後繼也是自然數。

以下是另一個可能更有利於理解遞歸過程的解釋:

  1. 我們已經完成了嗎?如果完成了,返回結果。如果沒有這樣的終止條件,遞歸將會永遠地繼續下去。
  2. 如果沒有,則簡化問題,解決較容易的問題,並將結果組裝成原始問題的解決辦法。然後返回該解決辦法。

這樣就有一種更有趣的描述:「為了理解遞歸,則必須首先理解遞歸。」或者更準確地,按照安德魯·普洛特金英語Andrew Plotkin的解釋:「如果你已經知道了什麼是遞歸,只需記住答案。否則,找一個比你更接近侯世達的人;然後讓他/她來告訴你什麼是遞歸。」[1]

數學中常見的以遞歸形式定義的案例參見函數、集合以及分形等。

舉例:編寫一個程式使用遞歸求n的階乘

Haskell:

fac 0 = 1
fac n = n * fac (n-1)

main = print( fac 10 )

語言中的例子

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  1. 從前有座山,山裏有座廟,廟裏有個老和尚,正在給小和尚講故事呢!故事是什麼呢?「從前有座山,山裏有座廟,廟裏有個老和尚,正在給小和尚講故事呢!故事是什麼呢?『從前有座山,山裏有座廟,廟裏有個老和尚,正在給小和尚講故事呢!故事是什麼呢?……』」
  2. 一隻狗來到廚房,偷走一小塊麵包。廚子舉起杓子,把那隻狗打死了。於是所有的狗都跑來了,給那隻狗掘了一個墳墓,還在墓碑上刻了墓誌銘,讓未來的狗可以看到:「一隻狗來到廚房,偷走一小塊麵包。廚子舉起杓子,把那隻狗打死了。於是所有的狗都跑來了,給那隻狗掘了一個墳墓,還在墓碑上刻了墓誌銘,讓未來的狗可以看到:『一隻狗來到廚房,偷走一小塊麵包。廚子舉起杓子,把那隻狗打死了。於是所有的狗都跑來了,給那隻狗掘了一個墳墓,還在墓碑上刻了墓誌銘,讓未來的狗可以看到……』」
  3. 大雄在房裏,用時光電視看着從前的情況。電視畫面中的那個時候,他正在房裏,用時光電視,看着從前的情況。電視畫面中的電視畫面的那個時候,他正在房裏,用時光電視,看着從前的情況……

數學之應用

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謝爾賓斯基三角形-由封閉遞歸的三角形所形成之分形

遞歸定義集

實例:自然數

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關於遞歸定義集的經典範例,可透過自然數來說明:

 
 , 則 
滿足上述兩個條件之最小集合,即為自然數集合

實例:可導出的命題集合

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另一個有趣範例為,公理系統中,所有可導出命題之集合

  • 若一個命題公理,則其為可導出之命題
  • 透過推理規則方式,若一個命題可以從可導出之命題所推論,則其為可導出之命題
  • 滿足上述條件之最小集合,為可導出之命題之集合

此集合稱為,可導出之命題之集合,因為在數學基礎方法中,依非建立性法構建的命題之集合,可能大於由公理系統推理規則所遞歸構建出之集合,詳細請參見 哥德爾不完備定理

有限次分割法

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有限次分割法為幾何形式之遞歸,可用以創建類分形之圖案。次分割原則的運作如後所述,從多個已被有限個標籤標註的多邊形開始,接着每個多邊形僅根據其標籤,繼續細切到更小的多邊形,此一細切的過程可不斷重複。

參見

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參考文獻

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註腳

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  1. ^ 原文:「If you already know what recursion is, just remember the answer. Otherwise, find someone who is standing closer to Douglas Hofstadter than you are; then ask him or her what recursion is.」

書目

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  • Johnsonbaugh, Richard. Discrete Mathematics. Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-117686-2. 
  • Hofstadter, Douglas. Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid. Basic Books. 1999. ISBN 0-465-02656-7. 
  • Shoenfield, Joseph R. Recursion Theory. A K Peters Ltd. 2000. ISBN 1-56881-149-7. 
  • Causey, Robert L. Logic, Sets, and Recursion. Jones & Bartlett. 2001. ISBN 0-7637-1695-2. 
  • Cori, Rene; Lascar, Daniel; Pelletier, Donald H. Recursion Theory, Godel's Theorems, Set Theory, Model Theory. Oxford University Press. 2001. ISBN 0-19-850050-5. 
  • Barwise, Jon; Moss, Lawrence S. Vicious Circles. Stanford Univ Center for the Study of Language and Information. 1996. ISBN 0-19-850050-5.  - offers a treatment of corecursion.
  • Rosen, Kenneth H. Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill College. 2002. ISBN 0-07-293033-0. 
  • Cormen, Thomas H., Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein. Introduction to Algorithms. Mit Pr. 2001. ISBN 0-262-03293-7. 
  • Kernighan, B.; Ritchie, D. The C programming Language. Prentice Hall. 1988. ISBN 0-13-110362-8. 
  • Stokey, Nancy,; Robert Lucas; Edward Prescott. Recursive Methods in Economic Dynamics. Harvard University Press. 1989. ISBN 0674750969. 

外部連結

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