Plankalkül

Plankalkül（德語發音：[ˈplaːnkalkyːl]）是康拉德·楚澤在1942至1945年間，出於工程目的而設計的一種程式語言。它是第一種為計算機設計的高級程式語言。

Plankalkül

編程範型	過程式
設計者	Konrad Zuse
釋出時間	1948年​（1948） – 概念首次發表
主要實作產品
Plankalkül-Compiler（柏林自由大學於2000年實現）
影響語言
Superplan, ALGOL 58

「Kalkül」在德語中意為形式系統。如希爾伯特演繹系統原本名為「Hilbert-Kalkül」那樣，「Plankalkül」指用於規劃（planning）的形式系統。

描述

Plankalkül可比較於APL和關係代數。它包括賦值語句、子例程、條件語句、迭代、浮點算術、陣列、層級記錄結構、斷言、例外處理和其他高級特徵比如目標導向執行。Plankalkül提供了叫做「廣義圖」（verallgemeinerter Graph）的數據結構，它可以被用來表示幾何結構。

Plankalkül的很多特徵重現於後來的程式語言之中；一個例外是其特質性的使用佔據多行的表示法。

Plankalkül的一些特徵：

• 只有局部變量，
• 函數不支持遞歸，
• 只支持傳名調用，
• 合成類型是陣列和元組，
• 包含條件表達式，
• 包含for循環和while循環，
• 沒有goto。

數據類型

在Plankalkül中唯一的原始數據類型是單一的位或布爾（德語：Ja-Nein-Werte，Zuse術語的「是-否-值」）。它被指稱為標識符 $S0$。所有進一步的數據類型都是合成的，並且從原始類型通過「陣列」和「記錄」的方式建造而成。

所以8位序列（這在現代計算中被當作字節）被指稱為$8\times S0$，而大小為 $m$乘$n$的布爾陣列，被描述為$m\times n\times S0$。還存在更短的表示法，可以用$S1\cdot n$替代$n\times S0$。

類型$S0$可以由兩個可能的值$0$和$L$。所以4位序列可以寫為例如$L00L$，但是在這樣的一個序列表示一個數的情況下，編程者可以使用十進制表示$9$。

Zuse還定義了$2\times \sigma$為有序對$S2$，$m\times \sigma$為列表$S3$，$m\times 2\sigma$為有序對列表$S4$。兩個組件（component）$\sigma$和$\tau$的記錄被寫為$(\sigma ,\tau )$。

Plankalkül中類型（德語：Art）構成自3個元素：結構化的值（德語：Struktur），語用意義（德語：Typ），和在可能的值上的限制（德語：Beschränkung）。用戶定義的類型被標示為字母$A$連帶編號，比如$A1$，即第一個用戶定義的類型。

例子

Zuse使用了來自象棋理論的很多例子：

$A1$	$S1\cdot 3$	棋盤的坐標（它的大小為$8\times 8$所以$3$位就足夠了）。
$A2$	$2\times A1$	棋盤的方格（例如$L00,00L$指稱代數記譜法中的e2）。
$A3$	$S1\cdot 4$	棋子（例如$00L0$指稱白王）。
$A4$	$(A2,A3)$	棋盤上的棋子（例如$L00,00L;00L0$指稱白王在e2中）。
$A5$	$64\times A3$	棋盤（棋子位置，描述64的方格都包含哪個棋子）。
$A10$	$(A5,S0,S1\cdot 4,A2)$	遊戲狀態（$A5$指稱棋盤，$S0$指稱行棋玩家，$S1\cdot 4$指稱王車易位的可能性（$2$位給白棋$2$位給黒棋），$A2$指稱關於哪個單元格有可能吃過路兵）。

標識符

標識符是字母字符連帶編號。針對變量有如下標識符種類：

• 輸入值（德語：Eingabewerte, Variablen），標記以字母$V$。
• 中間值，臨時值（德語：Zwischenwerte），標記以字母$Z$。
• 常值（德語：Constanten），標記以字母$C$。
• 輸出值（德語：Resultatwerte），標記以字母$R$。

特定的某種變量由寫在種類之下的編號來標示，例如：${\begin{smallmatrix}V\\0\end{smallmatrix}}$，${\begin{smallmatrix}Z\\2\end{smallmatrix}}$，${\begin{smallmatrix}C\\31\end{smallmatrix}}$等等。

程序和子程序被標記以字母$P$，跟隨着一個程序（和可選的一個子程序）編號。例如：$P12$、$P3\cdot 7$。

程序$P17$的輸出值保存在變量${\begin{smallmatrix}R\\0\end{smallmatrix}}$中，其他子程序能在標識符${\begin{smallmatrix}R17\\0\end{smallmatrix}}$之下獲得到它，而讀取這個變量的值還意味着執行有關的子程序。

按索引訪問元素

Plankalkül允許使用組件（component）索引（德語：Komponenten-Index）訪問變量的單獨元素。例如，當一個程序接收輸入於具有類型$A10$（遊戲狀態）的變量${\begin{smallmatrix}V\\0\end{smallmatrix}}$之中，那麼${\begin{smallmatrix}V\\0\\0\end{smallmatrix}}$給出棋盤狀態，${\begin{smallmatrix}V\\0\\0\cdot i\end{smallmatrix}}$給出在編號$i$方格中的棋子，而${\begin{smallmatrix}V\\0\\0\cdot i\cdot j\end{smallmatrix}}$給出這個棋子的位編號$j$。

在現代程式語言中，這可以用描述為表示法類似於V0[0]、V0[0][i]、V0[0][i][j]（儘管訪問單一的位在現代程式語言中典型的使用位掩碼）。

語法

由於變量的索引是垂直書寫的，邏輯上一行的Plankalkül指令要求佔據4或3物理行來書寫。

一行包含變量種類，第二行標記以$V$（德語：Variablen-Index）包含變量編號，第三行標記以$K$（德語：Komponenten-Index）包含組件索引，而第四行標記以$S$（德語：Struktur-Index）是類型描述。類型不是必需的，但是Zuse註釋到這能幫助閱讀和理解程序。

在$S$行中類型$S$前綴可以去掉，例如：

$S\;\left|\;S1\cdot n\quad m\times S1\cdot n\quad S0\quad S1\quad \sigma \right.$，可以簡寫為$\ S\;\left|\;1\cdot n\quad m\times 1\cdot n\quad 0\quad 1\quad \sigma \right.$。

進一步的類型$A$前綴也可以去掉，例如：

$S\;\left|\;A1\quad A2\quad S0\quad A3\ \quad \sigma \right.$，可以簡寫為$\ A\;\left|\;1\quad 2\quad 0\quad 3\ \quad \sigma \right.$。$A0$同義於$S0$。

變量的索引的例子：

${\begin{array}{r|l}&V\\V&3\\K&\\S&m\times 2\times 1\cdot n\end{array}}$	變量${\begin{smallmatrix}V\\3\end{smallmatrix}}$，它是$m$對的類型$S1\cdot n$的值的列表。
${\begin{array}{r|l}&V\\V&3\\S&m\times 2\times 1\cdot n\end{array}}$	K行在其為空時可以越過。因此這個表達式含義同於前者。
${\begin{array}{r|l}&V\\V&3\\K&i\cdot 0\cdot 7\\S&0\end{array}}$	變量${\begin{smallmatrix}V\\3\end{smallmatrix}}$的第$i$個元素的第$1$（索引$0$）對的第$8$（索引$7$）位，擁有布爾類型$S0$。

索引可以不只是常值。變量可以被用作其他變量的索引，而這被標記為折線，它展示變量的值將在哪個組件索引中使用：

變量${\begin{smallmatrix}V\\3\end{smallmatrix}}$的第${\begin{smallmatrix}Z\\5\end{smallmatrix}}$個元素。等價於在很多現代語言中的表達式V3[Z5]。

賦值運算

Zuse在他的演算中介入了賦值算子，這個概念未知於他之前的數學中。他將其標記為$\Rightarrow$，並稱其為產生符號（德語：Ergibt-Zeichen）。使用賦值的概念是在數學和計算機科學之間的關鍵差異。

例如下列表達式：

${\begin{array}{r|lll}&Z&+&1&\Rightarrow &Z\\V&1&&&&1\\S&1\cdot n&&1\cdot n&&1\cdot n\\\end{array}}$	向整數中間值${\begin{smallmatrix}Z\\1\end{smallmatrix}}$增加數量$1$。
${\begin{array}{r|lll}&(V&,&V)&\Rightarrow &R\\V&\;\,0&&1&&0\\S&\;\,\sigma &&\sigma &&2\sigma \\\end{array}}$	將值${\begin{smallmatrix}V\\0\end{smallmatrix}}$和${\begin{smallmatrix}V\\1\end{smallmatrix}}$合成為${\begin{smallmatrix}R\\0\end{smallmatrix}}$ 所指稱的合成值。

有人宣稱Konrad Zuse最初使用圖元作為賦值的符號，並在Heinz Rutishauser的影響下開始使用$\Rightarrow$。Knuth和Pardo相信Zuse總是寫為$\Rightarrow$，而是»Über den allgemeinen Plankalkül als Mittel zur Formulierung schematisch-kombinativer Aufgaben«的出版商在1948年介入的。在Zürich的ALGOL 58會議中，歐洲與會者提議使用Zuse介入的賦值符號，而美國代表團堅持採用:=。

存儲賦值結果的變量（左值）被寫在賦值算子的右側。對這個變量的第一次賦值被認為是一個聲明。

賦值算子的左側被用作表達式（德語：Ausdruck），它定義哪個值將被賦值到這個變量。表達式可以使用算術算子、布爾算子和比較算子（$=$，$\neq$，$\leq$等等）。

控制流程

布爾值被表示為整數，「否」（$\mathrm {nein}$）為$0$，而「是」（$\mathrm {ja}$）為$1$。條件控制流程採用守衛語句$\,{\mathcal {A}}{\dot {\rightarrow }}{\mathcal {X}}\,$的形式，這裏的加點箭頭叫做「條件符號」（德語：Bedingt-Zeichen），它指示在${\mathcal {A}}$為「是」的條件下執行塊${\mathcal {X}}$。迭代算子具有如下形式：

${\begin{matrix}W\\\\\\\end{matrix}}{\begin{bmatrix}{\mathcal {A}}{\dot {\rightarrow }}{\mathcal {X}}\\{\mathcal {B}}{\dot {\rightarrow }}{\mathcal {Y}}\\\vdots \end{bmatrix}}$

這裏的$W$表示「重複規劃」（德語：Wiederholungsplan），它重複直到所有守衛成為「否」。

術語

Zuse稱呼一個單一的程序為「計算規劃」（德語：Rechenplan）。他設想其所稱謂的「規劃組裝設備」（德語：Planfertigungsgerät），能自動的將一個程序的數學公式轉換成機器可讀的打孔電影膠片，這是在今天稱為翻譯器或編譯器的某種東西。

例子

下面的例子程序計算整數的階乘：

${\begin{aligned}&\quad P1.1\\&\;\,{\begin{array}{r}\\V\\K\\A\\\end{array}}\left|\;{\begin{array}{lll}R(V)&\Rightarrow &R\\\,\quad 0&&0\\&&\\\quad 10&&10\\\end{array}}\right.\\&\;\,{\begin{array}{r}\\V\\K\\A\\\end{array}}\left|\;{\begin{array}{lll}1&\Rightarrow &R\\&&0\\&&\\10&&10\\\end{array}}\right.\left|\;{\begin{array}{lll}V+1&\Rightarrow &Z\\0&&0\\&&\\10\;\;\;10&&10\\\end{array}}\right.\\&\;\,{\begin{array}{r}\\V\\K\\A\\\end{array}}\left|\;{\begin{array}{l}W2(Z)\\\quad \quad 0\\\\\quad \quad 10\end{array}}\left[{\begin{array}{l}i>0&{\dot {\rightarrow }}\\\\\\10\;\;10&\\\end{array}}\left[{\begin{array}{lll}R\times i&\Rightarrow &R\\0&&0\\&&\\10\;\;\;10&&10\end{array}}\right]\right]\right.\end{aligned}}$

這裏的Zuse定義的用戶類型$A10$表示全部整數。第一行包含「邊界概要」（德語：Randauszug），它定義程序$P1.1$接受一個變元（實際參數），即叫做${\begin{smallmatrix}V\\0\end{smallmatrix}}$的一個整數，並返回叫做${\begin{smallmatrix}R\\0\end{smallmatrix}}$的一個整數。這個程序將$1$賦值到${\begin{smallmatrix}R\\0\end{smallmatrix}}$，將${\begin{smallmatrix}V\\0\end{smallmatrix}}+1$賦值到${\begin{smallmatrix}Z\\0\end{smallmatrix}}$。接着迭代算子$W2$執行重複運算，將從${\begin{smallmatrix}Z\\0\end{smallmatrix}}-1$遞減至$0$的值，依次賦值到局部變量$i$，這裏將大於$0$的$i$值累乘至${\begin{smallmatrix}R\\0\end{smallmatrix}}$。當重複結束之時，值${\begin{smallmatrix}R\\0\end{smallmatrix}}$就包含了變元的階乘。

Zuse還定義了用戶類型$A8$表示自然數，$A9$表示非負整數，$A11$表示非負分數，$A12$表示全部分數，$A13$表示複數。迭代算子$W0$、$W1$和$W2$接受一個非負整數$n$，$W0$只重複$n$次而不賦值局部變量，$W1$重複時將從$0$遞增至$n-1$的值賦值給局部變量$i$；迭代算子$W3$、$W4$和$W5$接受兩個非負整數$(n,m)$並賦值到局部變量$i$，$W3$在$n<m$時從$n$遞增至$m-1$，$W4$在$n>m$時從$n$遞減至$m+1$，$W5$在$n<m$時從$n$遞增至$m-1$而在$n>m$時從$n$遞減至$m+1$。使用$W4({\begin{smallmatrix}V\\0\end{smallmatrix}},0)$，可以省略${\begin{smallmatrix}V\\0\end{smallmatrix}}+1$的初始值設置，和$i>0$的守衛條件判斷。

延伸閱讀

• Zuse, Konrad. Ansätze einer Theorie des allgemeinen Rechnens unter besonderer Berücksichtigung des Aussagenkalküls und dessen Anwendung auf Relaisschaltungen [Inception of a universal theory of computation with special consideration of the propositional calculus and its application to relay circuits] (unpublished manuscript). 1943. Zuse Papers 045/018 （德語）. 
• Zuse, Konrad. 寫於Hopferau bei Füssen, Germany. Über den allgemeinen Plankalkül als Mittel zur Formulierung schematisch-kombinativer Aufgaben. Archiv der Mathematik (Karlsruhe / Stuttgart / Basel, Germany: Birkhäuser Verlag). 1948-12-06, 1 (6): 441–449. ISSN 0003-889X. doi:10.1007/BF02038459. eISSN 1420-8938 （德語）.  (9 pages)
• Rojas, Raúl; Göktekin, Cüneyt; Friedland, Gerald; Krüger, Mike; Kuniß, Denis; Langmack, Olaf. Plankalkül: The First High-Level Programming Language and its Implementation (PDF). Berlin, Germany: Institut für Informatik, Freie Universität Berlin & Feinarbeit.de. February 2000. Technical Report B-3/2000. （原始內容存檔於2006-05-01） （英語）. [1] (22 pages)
• Bruines, Bram. Plankalkül (PDF) (Thesis). 2010-01-08 [2023-11-02]. （原始內容存檔 (PDF)於2023-11-02）.  (24 pages)

外部連結

• Plankalkül-Programme. Konrad Zuse Internet Archive. 2014-08-21 [2017-10-04]. （原始內容存檔於2014-08-21） （德語及英語）.  (NB. Plankalkül Java applets and documents.)