拋物面(英文:Paraboloid)是二次曲面的一種。拋物面有兩種:橢圓拋物面雙曲拋物面。橢圓拋物面在笛卡兒坐標系中的方程為:

雙曲拋物面
旋轉拋物面

雙曲拋物面在笛卡兒坐標系中的方程為:

性質

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a = b時,曲面稱為旋轉拋物面,它可以由拋物線繞着它的軸旋轉而成。它是拋物面反射器的形狀,把光源放在焦點上,經鏡面反射後,會形成一束平行的光線。反過來也成立,一束平行的光線照向鏡面後,會聚集在焦點上。

曲率

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橢圓拋物面的參數方程為:

 

高斯曲率為:

 

平均曲率為:

 

它們都是正數,在頂點處最大,越遠離頂點曲率越小,並趨近於零。

雙曲拋物面的參數方程為:

 

高斯曲率為:

 

平均曲率為:

 

乘法表

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如果把雙曲拋物面

 

順着+z的方向旋轉π/4的角度,則方程為:

 

如果 ,則簡化為:

 .

最後,設 ,我們可以看到雙曲拋物面

 .

與以下的曲面是全等的:

 

因此它可以視為乘法表的幾何表示。

兩個 函數

 

 

調和共軛,它們在一起形成解析函數

 

它是 函數 解析延拓

參見

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參考文獻

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  • Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 133, 1987.
  • Gray, A. "The Paraboloid." §13.5 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 307-308, 1997.
  • Harris, J. W. and Stocker, H. "Paraboloid of Revolution." §4.10.2 in Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, p. 112, 1998.
  • Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. Geometry and the Imagination. New York: Chelsea, pp. 10-11, 1999.
  • Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999.