當德蘭-格拉夫方法

當德蘭-格拉夫方法（英語：Graeffe’s method；德語：Dandelin-Gräffe-Verfahren）是求多項式根的數值方法之一，由幾位18世紀數學家Karl Heinrich Gräffe、Germinal Pierre Dandelin和羅巴切夫斯基分別獨立提出。

設欲解的方程為$p(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n})$

$p(-x)=(-1)^{n}(x+x_{1})(x+x_{2})...(x+x_{n})$

$p_{2}(x^{2})=p(x)p(-x)=(-1)^{n}(x^{2}-x_{1}^{2})(x^{2}-x_{2}^{2})...(x^{2}-x_{n}^{2})$

重複類似的步驟$k$次，可得以$x_{1}^{2^{k}},x_{2}^{2^{k}}...\,\!$為根的方程$q$，設$y=x^{2^{k}}\,\!$。

$q(y)=y^{n}+a_{1}y^{n-1}+...+a_{n}$

根據韋達定理：

$a_{1}=-(y_{1}+y_{2}+...+y_{n})$

$a_{2}=y_{1}y_{2}+y_{1}y_{3}+...+y_{n-1}y_{n}$

...

若經過多次自乘後，這些根相差得足夠大，使得：

$a_{1}\approx -y_{1}$

$a_{2}\approx y_{1}y_{2}$

...

對每個$y_{i}$求$2^{k}$次根便可求得$p(x)$的根。

這個方法有缺點包括：

• 經過數次的步驟，雙倍精確數目可能也不足以儲存要用到的數值，誤差頗大。
• 如果有複數根或重根就更繁複。

外部連結

• Tangent Graeffe Iteration