配對堆

配對堆
配對堆
類型	堆積
發明時間	1986年
發明者	邁克爾·弗雷德曼、羅伯特·塞奇威克、丹尼爾·斯萊托、羅伯特·塔揚
用大O符號表示的時間複雜度
算法
算法
插入
尋找最小值
刪除最小值
減小鍵值
合併

配對堆（英語：Pairing heap）是一種實現簡單、均攤複雜度優越的堆數據結構，由邁克爾·弗雷德曼、羅伯特·塞奇威克、丹尼爾·斯萊托、羅伯特·塔揚於1986年發明。^[1] 配對堆是一種多叉樹，並且可以被認為是一種簡化的斐波那契堆。對於實現例如普林姆最小生成樹算法等算法，配對堆是一個更優的選擇^[2]，且支持以下操作（假設該堆是最小堆）：

find-min（查找最小值）：返回堆頂。
merge（合併）：比較兩個堆頂，將堆頂較大的堆設為另一個的孩子。
insert（插入）：創建一個只有一個元素的堆，並合併至原堆中。
decrease-key（減小元素）（可選）：將以該節點為根的子樹移除，減小其權值，並合併回去。
delete-min（刪除最小值）：刪除根並將其子樹合併至一起。這裡有各種不同的方式。

配對堆時間複雜度的分析靈感來源於伸展樹。^[1] 其delete-min操作的時間複雜度為 $O (log n)$ ，而find-min、merge和insert操作的均攤時間複雜度均為 $O (1)$ 。^[3]

確定配對堆每次進行decrease-key操作的均攤時間複雜度是困難的。最初，基於經驗，這個操作的時間複雜度被推測為是 $O (1)$ ，^[4]但弗雷德曼證明了對於某些操作序列，每次decrease-key操作的時間複雜度至少為 $\Omega (\log \log n)$ 。^[5] 在那之後，通過不同的均攤依據，Pettie證明了insert、merge及decrease-key操作的均攤時間複雜度均為 $O(2^{2{\sqrt {\log \log n}}})$ ，近似於 $o(\log n)$ 。^[6] Elmasry後來介紹了一種配對堆的變體，令其擁有所有斐波那契堆可以實現的操作，且decrease-key操作的均攤時間複雜度為 $O(\log \log n)$ ，^[7]但對於原始的數據結構，仍未知準確的 $\Theta (\log \log n)$ 運行下限。^[6]^[3]此外，能否使delete-min在均攤時間複雜度為 $o(\log n)$ 的同時，令insert操作的均攤時間複雜度為 $O(1)$ ，目前也仍未得到解決。^[8]

儘管這比其他的，例如能實現均攤時間 $O(1)$ 的decrease-key的斐波那契堆，這樣的優先隊列算法更差，在實踐中配對堆的表現仍然很不錯。Stasko和Vitter，^[4] Moret和Shapiro，^[9] 以及Larkin、Sen和Tarjan^[8] 進行過配對堆和其他堆數據結構的實驗。他們得出的結論是, 配對堆通常比基於數組的二叉堆和D叉堆的實際操作速度更快，而且在實踐中幾乎總是比其他基於指針的堆更快，其中包括諸如斐波納契堆這樣的理論上更有效率的數據結構。

結構

一個配對堆要麼是一個空堆，要麼就是一個配對樹，由一個根元素與一個可能為空的配對樹列表所組成。堆的有序屬性使該列表中所有子樹的根元素都不小於該堆的根元素。下面描述了一個純粹的函數堆，我們假定它不支持decrease-key操作。

type PairingTree[Elem] = Heap(elem: Elem, subheaps: List[PairingTree[Elem]])
type PairingHeap[Elem] = Empty | PairingTree[Elem]

對於隨機存取機，一個基於指針的實現若要支持decrease-key操作，可以對每個節點使用三個指針做到，具體做法是用單向鍊表儲存節點的孩子：一個指針指向該節點的第一個孩子，一個指向它的下個兄弟，一個指向它的上個兄弟（對於最左邊的兄弟則指向它的父親）。或者，如果使用一個布爾標記表示「鍊表末尾」且令最後一個孩子指向它的父親，指向上個兄弟的指針也可以不使用。這在犧牲常數開銷的同時，令結構更加緊湊。^[1]

操作

find-min（查找最小值）

函數find-min簡單地返回該堆的堆頂：

function find-min(heap: PairingHeap[Elem]) -> Elem
  if heap is Empty
    error
  else
    return heap.elem

merge（合併）

合併一個空堆將會返回另一個堆，否則將會返回一個新堆，其將兩個堆的根元素中較小的元素當作新堆的根元素，並將較大的元素所在的堆合併到新堆的子堆中：

function merge(heap1, heap2: PairingHeap[Elem]) -> PairingHeap[Elem]
  if heap1 is Empty
    return heap2
  elsif heap2 is Empty
    return heap1
  elsif heap1.elem < heap2.elem
    return Heap(heap1.elem, heap2 :: heap1.subheaps)
  else
    return Heap(heap2.elem, heap1 :: heap2.subheaps)

insert（插入）

插入一個元素最簡單的方法是，將一個僅有該元素的新堆與需要被插入的堆合併：

function insert(elem: Elem, heap: PairingHeap[Elem]) -> PairingHeap[Elem]
  return merge(Heap(elem, []), heap)

delete-min（刪除最小值）

唯一比較複雜的操作即是堆中最小值的刪除操作。標準方法是：首先將子堆從左到右、一對一對地合併（這就是它叫這個名字的原因），然後再從右到左合併該堆。

function delete-min(heap: PairingHeap[Elem]) -> PairingHeap[Elem]
  if heap is Empty
    error
  else
    return merge-pairs(heap.subheaps)

這需要使用到輔助函數merge-pairs（合併對）：

function merge-pairs(list: List[PairingTree[Elem]]) -> PairingHeap[Elem]
  if length(list) == 0
    return Empty
  elsif length(list) == 1
    return list[0]
  else
    return merge(merge(list[0], list[1]), merge-pairs(list[2..]))

這確實實現了所描述的兩個通過從左向右、然後從右向左的合併策略。這可以下面的過程看到：

   merge-pairs([H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7])
=> merge(merge(H1, H2), merge-pairs([H3, H4, H5, H6, H7]))
     # 合并H1和H2到H12，再处理列表中剩下的部分
=> merge(H12, merge(merge(H3, H4), merge-pairs([H5, H6, H7])))
     # 合并H3和H4到H34，再处理列表中剩下的部分
=> merge(H12, merge(H34, merge(merge(H5, H6), merge-pairs([H7]))))
     # 合并H5和H6到H56，再处理列表中剩下的部分
=> merge(H12, merge(H34, merge(H56, H7)))
     # 转换方向，合并最后两个堆，给出H567
=> merge(H12, merge(H34, H567))
     # 合并最后两个堆，给出H34567
=> merge(H12, H34567) 
     # 最终，合并第一个堆和剩下堆合并的结果
=> H1234567

運行時間統計

下面的時間複雜度中，^[10]O(f)是一個漸近的上界，而Θ(f)是一個準確的上界（見大O符號）。函數名均假設該堆為最小堆。

操作	二叉^[10]	左偏	二項^[10]	斐波那契^[10]^[11]	配對^[3]	Brodal^[12]^[a]
find-min	Θ(1)	Θ(1)	Θ(log n)	Θ(1)	Θ(1)	Θ(1)
delete-min	Θ(log n)	Θ(log n)	Θ(log n)	O(log n)^[b]	O(log n)^[b]	O(log n)
insert	O(log n)	Θ(log n)	Θ(1)^[b]	Θ(1)	Θ(1)	Θ(1)
decrease-key	Θ(log n)	Θ(n)	Θ(log n)	Θ(1)^[b]	o(log n)^[b]^[c]	Θ(1)
merge	Θ(n)	Θ(log n)	O(log n)^[d]	Θ(1)	Θ(1)	Θ(1)

^ Brodal和Okasaki後來描述了一個可持久化的變種，擁有同樣的運行上界，但不支持decrease-key。帶有n個元素的堆可以在O(n)時間內從下至上構建。^[13]
^ ^2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 ^2.4 均攤時間。
^ 下界為 $\Omega (\log \log n)$ ，^[14]上界為 $O(2^{2{\sqrt {\log \log n}}})$ 。^[15]
^ n是較大堆的大小。

參考文獻

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外部連結

Louis Wasserman discusses pairing heaps and their implementation in Haskell in The Monad Reader, Issue 16 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (pp. 37–52).
pairing heaps （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Sartaj Sahni

[brodal-14] Brodal和Okasaki後來描述了一個可持久化的變種，擁有同樣的運行上界，但不支持decrease-key。帶有n個元素的堆可以在O(n)時間內從下至上構建。^[13]

[amortized-15] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 ^2.4 均攤時間。

[pairingdecreasekey-18] 下界為 $\Omega (\log \log n)$ ，^[14]上界為 $O(2^{2{\sqrt {\log \log n}}})$ 。^[15]

[merge-19] 是較大堆的大小。

[FSST-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Fredman, Michael L.; Sedgewick, Robert; Sleator, Daniel D.; Tarjan, Robert E. The pairing heap: a new form of self-adjusting heap (PDF). Algorithmica. 1986, 1 (1): 111–129 [2018-04-13]. doi:10.1007/BF01840439. （原始內容存檔 (PDF)於2021-05-06）.

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[CLRS-10] 10.0 ^10.1 ^10.2 ^10.3 Cormen, Thomas H. （英語：Thomas H. Cormen）; Leiserson, Charles E. （英語：Charles E. Leiserson）; Rivest, Ronald L. Introduction to Algorithms 1st. MIT Press and McGraw-Hill. 1990. ISBN 0-262-03141-8.

[Fredman_And_Tarjan-11] Fredman, Michael Lawrence; Tarjan, Robert E. Fibonacci heaps and their uses in improved network optimization algorithms (PDF). Journal of the Association for Computing Machinery. July 1987, 34 (3): 596–615. doi:10.1145/28869.28874.

[12] Brodal, Gerth S., Worst-Case Efficient Priority Queues (PDF), Proc. 7th Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms: 52–58, 1996

[13] Goodrich, Michael T.; Tamassia, Roberto. 7.3.6. Bottom-Up Heap Construction. Data Structures and Algorithms in Java 3rd. 2004: 338–341. ISBN 0-471-46983-1.

[Fredman1999-16] Fredman, Michael Lawrence. On the Efficiency of Pairing Heaps and Related Data Structures (PDF). Journal of the Association for Computing Machinery. July 1999, 46 (4): 473–501. doi:10.1145/320211.320214.

[17] Pettie, Seth. Towards a Final Analysis of Pairing Heaps (PDF). FOCS '05 Proceedings of the 46th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science: 174–183. 2005. CiteSeerX 10.1.1.549.471  . ISBN 0-7695-2468-0. doi:10.1109/SFCS.2005.75.

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