超代數

數學和理論物理中，'超代數指的是Z₂-分次代數。也就是說，它是交換環或域上的代數，可以分解為「奇偶」兩部分，並有對次數進行運算的乘法算子。

「超」來自理論物理中的超對稱。超代數及其表示（超模）為超對稱提供了代數框架。對這類對象的研究有時也被稱作超線性代數。超代數在相關的超幾何領域也發揮着重要作用，它們進入了分次流形、超流形和超概形。

形式定義

令K為交換環。在大多數應用中，K是特徵為0的域，如R、C等。

K上的超代數是具有直和分解的K-模A：

$A=A_{0}\oplus A_{1}$

以及雙射乘法$A\times A\to A$，使

$A_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}$

其中下標讀作模2，即將其看做$\mathbb {Z} _{2}$的元素。

超環或$\mathbb {Z} _{2}$分次環是整數環$\mathbb {Z}$上的超代數。 每個$A_{i}$中的元素稱作齊次的。齊次元x的奇偶性記作|x|，根據是在$A_{0}$還是在$A_{1}$中取0或1的值。稱奇偶性為0的元素是偶的，奇偶性為1的元素是奇的。若x、y都齊次，則積xy也齊次，且$|xy|=|x|+|y|$。

結合超代數指乘法符合結合律的超代數，含幺超代數是指有乘法單位元的超代數。含幺超代數中的單位元必須是偶的。除非另有說明，本文中所有超代數都假定是結合含幺的。

交換超代數（或超交換代數）是一種滿足交換律的分次版本的超代數。具體來說，若對A中所有齊次元x、y

$yx=(-1)^{|x||y|}xy\,$

則稱A交換。有些超代數在普通意義上是交換的，而在超代數意義上不是，因此為避免混淆，交換超代數常稱作「寵愛交換」。

例子

• 交換環K上任意代數都可視作K上的純偶超代數，即將$A_{1}$視作平凡的。
• 任何Z-或N-分次代數都可通過讀取次數模2被視為超代數。這包括張量代數和K上的多項式環等例子。
• 特別地，K上任何外代數都是超代數，外代數是超交換代數的標準例子。
• 對稱多項式與交替多項式分別構成同一超代數的偶部分和奇部分，注意這是與分次不同的分級。
• 克利福德代數是超代數，通常是非交換的。
• 超向量空間所有自同態的集合（記作$\mathbf {End} (V)\equiv \mathbf {Hom} (V,V)$，其中粗體的$\mathrm {Hom}$被稱作內部（interval）$\mathrm {Hom}$，由所有線性映射組成）形成了組合運算下的超代數。
• 元素屬於K的所有超方陣的集合形成了超代數，記作$M_{p|q}(K)$。此代數可以視作等同於秩為$p|q$的K上自由超模的自同態代數，是這空間的內部Hom。
• 李超代數是李代數的分次類似物。李超代數是無幺、非結合的，但可以構造類似於李超代數的泛包絡代數，它是含幺結合超代數。

進一步的定義與構造

偶子代數

令A為交換環K上的超代數。子模$A_{0}$包含所有偶元，對乘法封閉，包含A的單位元，因此形成了A的子代數，自然地稱作偶子代數，構成了K上的普通代數。

所有奇元素$A_{1}$的集合是$A_{0}$-雙模，其標量乘法就是A中的乘法。A中的積使$A_{1}$具有雙線性形式

$\mu :A_{1}\otimes _{A_{0}}A_{1}\to A_{0}$

使得$\forall x,\ y,\ z\in A_{1},$

$\mu (x\otimes y)\cdot z=x\cdot \mu (y\otimes z)$

這源於A中積的結合性。

次對合

任何超代數上都有規範的對合自同構，稱作次對合（grade involution），在齊次元上表為

${\hat {x}}=(-1)^{|x|}x$

在任意元上表為

${\hat {x}}=x_{0}-x_{1}$

其中$x_{i}$是x的齊次部分。若A無2-扭子（特別是若2可逆），則次對合可區分A的奇偶部分：

$A_{i}=\{x\in A:{\hat {x}}=(-1)^{i}x\}.$

超交換

A上的超交換子（supercommutator）是齊次元的二元運算

$[x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx$

並可以線性推廣到A的所有元素。若$\exists x,\ y\in A,\ [x,\ y]=0$，稱x、y超交換。

A的超中心（supercenter）是A中與所有元素超交換的元素集合：

$\mathrm {Z} (A)=\{a\in A:[a,x]=0{\text{ for all }}x\in A\}.$

一般來說A的超中心與作為未分次代數的特徵的中心不同。交換超代數的超中心是A的全部元素。

超張量積

兩超代數A、B的分次張量積可視作超代數$A\otimes B$，乘法規則為

$(a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=(-1)^{|b_{1}||a_{2}|}(a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}).$

若A或B是純偶的，則這等同於普通的未分次張量積（不過結果是分次的）。但總之，超張量積一般不同於將A、B視作普通未分次代數的張量積。

推廣與範疇論定義

可以很容易地將超代數的定義推廣到包括交換超環上的超代數。上述定義是基環為純偶的特例。

令R為交換超環。R上的超代數（superalgebra）是R-超模A，具有遵從分次的R-雙線性乘法$A\times A\to A$。此處雙線性意味着對所有齊次元$r\in R,\ x,\ y\in A,$

$r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=(-1)^{|r||x|}x(r\cdot y)$

等價地，可以把R上的超代數定義為超環A與超環同態$R\to A$，其像位於A的超中心。

超代數還有範疇論定義。所有R-超模組成的範疇在超張量積下形成幺半範疇（monoidal category）（R為單位對象）。接着，R上的結合含幺超代數可定義為R-超模範疇中的幺半對象（monoid）；即，超代數是具有兩個（偶）態射

${\begin{aligned}\mu &:A\otimes A\to A\\\eta &:R\to A\end{aligned}}$

的R-超模A，其通常圖是交換的。

參考文獻

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