舒爾補

在線性代數與矩陣論中，一個矩陣的子矩陣之舒爾補是一個與其余子陣同樣大小的矩陣，定義如下：假設一個 (p+q)×(p+q)的矩陣M被分為A, B, C, D四個部分，分別是p×p、p×q、q×p以及q×q的矩陣，也就是說：

$M=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]$

並且D是可逆的矩陣。則D在矩陣中的舒爾補是：

$A-BD^{-1}C.$

這是一個p×p的矩陣。

舒爾補得名於數學家伊賽·舒爾，後者用舒爾補來證明舒爾引理。然而，舒爾補的概念在之前就曾經被使用過。

背景

舒爾補實際上是對原來的矩陣M進行一系列的初等變換操作後得到的矩陣，其轉換矩陣是下三角矩陣：

$L=\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&D^{-1}\end{matrix}}\right].$

其中I_p表示一個p×p的單位矩陣。矩陣M右乘轉換矩陣L之後，左上角就會出現舒爾補，具體的形式是：

$M\cdot L=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&D^{-1}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}A-BD^{-1}C&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{matrix}}\right].$

因此，矩陣M的逆，如果存在的話，可以用$D^{-1}$以及其舒爾補（如果存在的話）來表示：

$\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]^{-1}=\left[{\begin{matrix}I&0\\-D^{-1}C&D^{-1}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}(A-BD^{-1}C)^{-1}&0\\0&I\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}I&-BD^{-1}\\0&I\end{matrix}}\right]$

$=\left[{\begin{matrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\end{matrix}}\right].$

當p和q都等於1（即A、B、C和D都是係數）時，我們可以得到一般的2 × 2的矩陣的逆矩陣表達式：

$M^{-1}={\frac {1}{AD-BC}}\left[{\begin{matrix}D&-B\\-C&A\end{matrix}}\right]$

這也說明了$AD-BC$是非零的數。

在矩陣方程求解中的應用

舒爾補很自然地可以在如下的方程組求解中發揮作用：

$Ax+By=a$

$Cx+Dy=b$

其中x以及a是p維的列向量，而y以及b則是q維的列向量。矩陣A、B、C、D則同上面假設。將第二個方程左乘上矩陣$BD^{-1}$，並將得到後的方程與第一個相減，就得到：

$(A-BD^{-1}C)x=a-BD^{-1}b.\,$

因此，如果可以知道D以及D的舒爾補的逆矩陣，就可以解出未知量x之後帶入第二個方程$Cx+Dy=b$就可以解出y。這樣，就將$(p+q)\times (p+q)$矩陣的求逆問題轉化成了分別求解一個p×p矩陣以及一個 q×q矩陣的逆矩陣的問題。這樣就大大減低了複雜度（計算量）。實際上，這要求矩陣D滿足足夠好的條件，以使得算法得以成立。

概率論和統計學中的應用

假設有分別屬於Rⁿ以及R^m的隨機列向量X, Y ，並且R^n+m中的向量對 (X, Y)具有多維正態分布，其方差矩陣是對稱的正定矩陣

$V=\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{T}&C\end{matrix}}\right].$

那麼X在Y給定時的條件方差是矩陣C在V中的舒爾補：

$\operatorname {var} (X\mid Y)=A-BC^{-1}B^{T}.$

參見

• Woodbury單位矩陣