皮亞諾曲線
這是朱塞佩·皮亞諾發現的空間填充曲線的一個特例
此條目沒有列出任何參考或來源。 (2012年7月3日) |
皮亞諾曲線（Peano curve）是一條能夠填滿正方形的曲線。
1890年，意大利數學家朱塞佩·皮亞諾發明能填滿一個正方形的曲線，叫做皮亞諾曲線，其構造方法如下：取一個正方形並且把它分出九個相等的小正方形，然後從左下角的正方形開始至右上角的正方形結束，依次把小正方形的中心用線段連接起來；下一步把每個小正方形分成九個相等的正方形，然後上述方式把其中中心連接起來……。將這種操作手續無限進行下去，最終得到的「極限情況的曲線」[註 1]就被稱作皮亞諾曲線。這樣的曲線會填滿整個一開始給定的正方形。
在傳統概念中，曲線的維度是1，正方形維度是2，且1維的曲線直覺上不能填滿2維的正方形。但是皮亞諾曲線正給出了反例。這說明我們對維數的認識是有缺陷的，有必要重新思考維數的定義。這就是分形幾何考慮的問題。在分形幾何中，維數可以是分數叫做分維。
此外，皮亞諾曲線是連續的但處處不可導的曲線。因此如果我們想要研究傳統意義上的曲線，就必須加上可導的條件，以便排除像皮亞諾曲線這樣的特例。
註釋
編輯- ^ 這裡的極限具有如下意義：對皮亞諾曲線構造的每個階段中的折線，我們可以以最自然的方式將其參數化成 , 使得 。而極限的曲線就是參數式為 的曲線。可以證明前述極限對每個 皆存在。
![{\displaystyle t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a5c18739ff04858eecc8fec2f53912c348e0e5)
![{\displaystyle \textstyle (\lim _{n\to \infty }f_{n}(t),\lim _{n\to \infty }g_{n}(t)),t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7aac024292cc12cc878bd87ad720c32912b1d0f)