愛爾朗分布

在概率與統計相關學科中，愛爾朗分布（Erlang Distribution）是一種連續型概率分布。Erlang分布的譯名較多，如愛爾蘭分布，埃朗分布，埃爾朗分布，愛爾朗分布，厄朗分布等等；此外在不同學科間，Erlang分布的習慣譯法也可能不同。

該分布與指數分布一樣多用來表示獨立隨機事件發生的時間間隔。相比於指數分布，愛爾朗分布能更好地對現實數據進行擬合（更適用於多個串行過程，或無記憶性假設不顯著的情況下）。除非退化為指數分布，愛爾朗分布不具有無記憶性（或馬爾可夫性質），因此對其進行分析相對困難一些。一般通過將愛爾朗過程分解為多個指數過程的技巧來對愛爾朗分布進行分析。

遵循愛爾朗分布的隨機變量可以被分解多個同參數指數分布隨機變量之和，該性質使得愛爾朗分布被廣泛用於排隊論中。

參數與公式

愛爾朗分布有兩個參數，階數（stage）$k$和均值$\mu$（也有用$\lambda ={\frac {1}{\mu }}$來代替的）。具有階數$k$的愛爾朗過程被稱為k階愛爾朗（k-stage Erlang），對應的隨機變量可被視為k個獨立同參數指數分布隨機變量之和。

依據上下文環境不同，均值參數$\mu$可以指整個愛爾朗分布的均值$\mu _{0}$也可以指每個指數分布的均值$\mu _{i}$。兩者的關係是：$\mu _{i}={\frac {\mu _{0}}{k}}$

與其他概率分布的關係

• 相型分布: 愛爾朗分布是相型分布的一個特例。

• 亞指數分布：愛爾朗分布是亞指數分布的一個特例（當k階亞指數分布的各階指數過程均值都相等時，即退化為為k階愛爾朗分布）；

• 指數分布：指數分布是愛爾朗分布的一個特例，（當愛爾朗分布的階數$k=1$時，退化為指數分布）。