對數分布

在概率論與統計學中，對數分布是一種離散概率分布形式，它也稱為對數級數分布。

對數分布

參數	$0<p<1\!$
值域	$k\in \{1,2,3,\dots \}\!$
機率質量函數	${\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {\;p^{k}}{k}}\!$
累積分布函數	$1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}}\!$
期望值	${\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p}{1-p}}\!$
眾數	$1$
變異數	$-p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1-p)}}\!$
動差母函數	${\frac {\ln(1-p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}}\!$
特徵函數	${\frac {\ln(1-p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}}\!$

對數分布是從−ln(1−p)的麥克勞倫級數展開

$-\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .$

派生出來的，因此

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.$

這樣就可以直接導出呈Log(p)分布的隨機變量在$k\geq 1$且$0<p<1$時的概率集聚函數：

$f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}$

由於上面是單位值，所以這個分布已經進行了歸一化。

累積分布函數位

$F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}}$

其中$\mathrm {B}$是不完全貝塔函數。

羅納德·費雪將這種分佈應用在群體遺傳學上。

參見

• 泊松分布（also derived from a Maclaurin series）