實射影空間

數學中，實射影空間（real projective space），記作 RPⁿ，是 Rⁿ⁺¹ 中的直線組成的射影空間。它是一個 n 維緊光滑流形，也是格拉斯曼流形的一個特例。

構造

與所有射影空間一樣，RPⁿ 是通過取 Rⁿ⁺¹ − {0} 在等價關係 x ∼ λx 對所有實數 λ ≠ 0 下的商空間。對所有 x 屬於 Rⁿ⁺¹ − {0}，總可找到一個 λ 使得t λx 的範數為 1。恰好有相差一個符號的兩個這樣的 λ。

故 RPⁿ 也可通過將 Rⁿ⁺¹ 中單位 n-維球面 Sⁿ 的對徑點等同起來得到。

進一步我們限制在 Sⁿ 的上半球面，僅將邊界赤道上的對徑點等同。這說明 RPⁿ 閉 n-維圓盤 Dⁿ 將邊界 ∂Dⁿ = Sⁿ⁻¹ 上的對徑點等同。

低維例子

$\mathbf {RP} ^{1}$ 也成為實射影直線，拓撲等價於圓周。

$\mathbf {RP} ^{2}$ 稱為實射影平面。

$\mathbf {RP} ^{3}$ （微分同胚）是 SO(3)，從而有一個群結構；覆疊映射 $S^{3}\to \mathbf {RP} ^{3}$ 是一個群映射 $\operatorname {Spin} (3)\to SO(3)$，這裡 Spin(3)是 SO(3) 的萬有覆疊李群。

拓撲

n-維球面的對徑映射（將 x 送到 -x）生成 Sⁿ 上一個 Z₂ 群作用。上已提到，這個作用的軌道空間是 RPⁿ。這個作用恰是一個覆疊空間作用，使 Sⁿ 成為 RPⁿ 的二重覆疊。因為對 n ≥ 2，Sⁿ 是單連通的，它們在此情形也是萬有覆疊。從而當 n > 1 時，RPⁿ 的基本群是 Z₂（當 n=1 基本群是 Z 因為同胚於 S¹）。基本的一個生成元是連接 Sⁿ 中一組對徑點的曲線投影到 RPⁿ 上的閉曲線。

點集拓撲

n-維射影空間的一些性質：

• 1-維射影空間同胚與圓周。

• 2-維射影空間不能嵌入 R³。但可以嵌入 R⁴ 以及浸入 R³。

• n-維射影空間事實上同胚於 R⁽ⁿ⁺¹⁾² 中所有跡為 1 的對稱 (n+1)×(n+1) 冪等線性變換組成的子流形。

• n-維射影空間是緊連通空間，基本群同構於 2 階循環群（從 n-維球面到 n-維射影空間的商映射是 n-維射影射影空間被一個道路連通空間的二重覆疊）。

同倫群

$\mathbf {RP} ^{n}$ 的高次同倫群恰好是 $S^{n}$ 的高階同倫群，有纖維化的同倫長正合序列得出。

確切地，這個纖維叢是

$\mathbf {Z} /2\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}.$

你也可以類似於復射影空間將其寫成

$S^{0}\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}$

或

$O(1)\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}.$

低次同調群是

$\pi _{i}\mathbf {RP} ^{n}={\begin{cases}0&i=0\\\mathbf {Z} /2&i=1\\0&1<i<n\\\mathbf {Z} &i=n.\end{cases}}$

光滑結構

實射影空間是光滑流形。在 Sⁿ 的齊次坐標 (x₁...x_n+1) 中，考慮子集 U_i 使得 x_i ≠ 0。每個 U_i 同胚於 Rⁿ 中的開單位球體，且坐標轉移函數是光滑的。這給出了 RPⁿ 一個光滑結構。

CW 結構

實射影空間 RPⁿ 有一個 CW結構，在每一維有 1 個胞腔。

在 Sⁿ 上的齊次坐標 (x₁ ... x_n+1) 中，坐標鄰域 U₁ = {(x₁ ... x_n+1)|x₁ ≠ 0} 可與 n-維圓盤 Dⁿ 的內部等價。當 x_i = 0，我們有 RP^{n - 1}。從而 RPⁿ 的 n - 1 骨架是 RP^{n - 1}，而且黏貼映射 f: S^n-1 → RP^{n - 1} 是一個二對一映射。我們可令

$\mathbf {RP} ^{n}=\mathbf {RP} ^{n-1}\cup _{f}D^{n}.$

歸納證明 RPⁿ 是一個 CW 復形，在每一維有 1 個胞腔。

這些胞腔與旗流形上一樣是舒伯特胞腔。這便是，取一個完全旗（稱為標準旗）0 = V₀ < V₁ <...< V_n；則閉 k-胞腔是屬於 V_k 中的直線。而開 k-胞腔（k-胞腔的內部）是 V_k\V_k-1 中的直線（屬於 V_k 但不屬於 V_{k - 1} 的直線）。

在齊次坐標（關於旗的）中，這些胞腔是

$[*:0:0:\dots :0]$

$[*:*:0:\dots :0]$

$\vdots$

$[*:*:*:\dots :*].$

這不是一個正則 CW 結構，因黏貼映射是二對一的。但它的覆蓋是球面上一個正則 CW 結構，在每一維有 2 個胞腔；事實上，這是球面上最小的正則 CW 結構。

在光滑結構的幫助下，莫爾斯函數的存在性可證明 RPⁿ 是一個 CW 復形。在齊次坐標中，這樣一個函數可為：

$g(x_{1},\cdots ,x_{n+1})=\sum _{1}^{n+1}i\cdot |x_{i}|^{2}.$

在每個鄰域 U_i，g 有非退化奇點 (0...,1,...0)，這裡 1 出現於第 i 個位置，具有莫爾斯指標 i。這說明了 RPⁿ 是一個在每一維有一個胞腔的 CW 復形。

同調

與上面 CW 結構相伴的胞腔鏈復形在每個維數 0,...,n 恰有一個胞腔。對每個維數 k，邊界映射 d_k : δD^k → RP^k-1/RP^k-2，坍塌到 S^{k - 1} 上的赤道然後將對徑點等同。在奇數（偶數）維，度數為 0（2）：

$\mathrm {deg} (d_{k})=1+(-1)^{k}.\,$

從而整同調是

$H_{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\mbox{ or }}i=n{\mbox{ odd,}}\\\mathbf {Z/2Z} &0<i<n,\ i\ {\mbox{odd,}}\\0&{\mbox{else.}}\end{cases}}$

可定向性

$\mathbf {RP} ^{n}$ 可定向當且僅當 n 為奇數，上面的同調計算已經做了說明。更具體地，$\mathbf {R} ^{p}$ 上的對徑映射有符號 $(-1)^{p}$，所以它是保定向的當且僅當 p 是偶數。從而定向特徵標是：$\pi _{1}(\mathbf {RP} ^{n})$ 中的非平凡迴路作為 $(-1)^{n+1}$ 作用在定向上，所以 $\mathbf {RP} ^{n}$ 可定向當且僅當 n+1 為偶數，即 n 為奇數。

重言叢

在實射影空間上有一個自然的線叢，稱為重言叢。更確切地，這稱為重言子叢，也存在一個對偶 n-維叢稱為重言商叢。

幾何

實射影空間有一個常正數量曲率度量，由二重覆疊的標準圓球面（對極映射是一個等距）得來。

對標準圓度量，其截面曲率恆等於 1。

測度

在標準圓度量中，射影空間的測度恰好是球面測度的一半。

無窮實射影空間

無窮實射影空間構造為有限射影空間的正向極限或併集：

$\mathbb {RP} ^{\infty }:=\lim _{n}\mathbb {RP} ^{n}.$

拓撲上說，這是艾倫伯格-麥克蘭恩空間$K(\mathbb {Z} /2,1)$（它被可縮的無窮球面 $S^{\infty }$ 二重覆疊）並且是 BO(1)，線叢的分類空間（更一般地，無窮格拉斯曼流形是向量叢的分類空間）。

係數取 Z/2 的上同調環是

$H^{*}(\mathbb {RP} ^{\infty };\mathbb {Z} /2)=\mathbb {Z} /2[w_{1}],$

這裡 $w_{1}$ 是第一斯蒂弗爾-惠特尼類： 它是 $w_{1}$（其度數為 1）上的自由 $\mathbb {Z} /2$-代數。

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