擊中時也稱為命中時首中時,是數學隨機過程研究裡出現的一個概念,表示一個隨機過程首次接觸到狀態空間的某個子集的時間。在特定的例子中,也會被稱為離時脫離時間)或回時首次回歸時間)。

布朗運動過程的三個路徑,接觸到上限則結束

定義

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 是一個有序的指標集,比如說是自然數的集合 、非負實數 或者是這兩者的子集。 中的一個元素 可以被認為是一種記錄時間的方式(離散或連續型)。給定一個概率空間 ,一個可測狀態空間 ,設 為一個隨機過程,並設  中的一個可測子集。那麼,隨機過程 首次接觸子集 的擊中時定義為以下的隨機變量[1]:155

 
 

同樣,可以定義 首次離開子集 的離時:

 

可以看出離時實際上也是擊中時的一種,表示首次接觸到要研究的子集的補集的時間。很多時候,離時也會記為 ,和擊中時一樣。

另外一種擊中時是  後首次回到出發點 的擊中時,稱為回時或首次回歸時間:

 

例子

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  •   上標準的布朗運動過程,則對於任意(實數的)波萊爾可測子集 ,都可以定義首次接觸 的擊中時 ,並且可以證明這樣定義的擊中時 都是停時。
  • 如果定義標準布朗運動 首次離開區間 的離時為 ,那麼這個離時也是停時,它的數學期望是: 方差 

首發定理

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對於給定的概率空間,隨機過程首次進入狀態空間中的一個可測子集 的擊中時也稱為 的首發時間(début)。首發定理說明,如果隨機過程是循序可測的,那麼可測子集的首發時間一定是停時。循序可測過程包括所有的左連續適應過程和右連續適應過程。首發定理的證明用到了解析集的性質。首發定理需要概率空間是完全概率空間

首發定理的逆定理指出,所有定義在某個實數時間軸的濾波上的停時,都能表示為某個狀態空間子集的擊中時。特別地,存在一個適應的不增隨機過程,其路徑幾乎總是左極限右連續,並且取值為0或1,使得子集 的擊中時就是對應的停時。

參見

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參考來源

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  1. ^ (英文)Rick Durrett. Probability: theory and examples,4th edition. Cambridge University Press. 2000. ISBN 0521765390.