贝蒂数
在代数拓扑学中,拓扑空间之贝蒂数 是一族重要的不变量,取值为非负整数或无穷大。直观地看, 是连通分支之个数, 是沿著闭曲线剪开空间而保持连通的最大剪裁次数。更高次的 可藉同调群定义。
定义
编辑空间 的第 个贝蒂数( 为非负整数)定义为
上式的同调群可以任意域为系数。
例子
编辑性质
编辑闭曲面的第一个贝蒂数描述了曲面上的“洞”数。环面之 ;一般而言,闭曲面的 等于“洞”或“把手”个数之两倍。可定向紧闭曲面可由其 完全分类。
有限单纯复形或CW复形的贝蒂数有限。当 大于复形维度时, 。
对于有限 CW 复形,定义其庞加莱多项式为贝蒂数的生成函数
对于任意 ,有
贝蒂数与微分形式
编辑在微分几何及微分拓扑中,所论的空间 通常是闭流形,此时拓扑不变量 可以由源自流形微分结构的微分形式计算。具体言之,考虑复形
其中 表 次微分形式构成的向量空间, 为外微分。则
这是德拉姆上同调理论的简单推论。
德拉姆上同调的不便之处,在于它考虑的是微分形式的等价类,其间可差一个 之元素。设流形 具有黎曼度量,则可以定义微分形式的“长度”。我们若尝试以变分法在等价类中找最短元素,透过形式计算可知存在唯一最短元素 ,且为调和形式 : ,在此拉普拉斯算子 依赖于流形的度量,在局部座标系下可表为椭圆偏微分算子。这套想法催生的霍奇理论在复几何中扮演关键角色。
文献
编辑- F.W. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer (1983).
- J.Roe, Elliptic Operators, Topology, and Asymptotic Methods, Second Edition (Research Notes in Mathematics Series 395), Chapman and Hall (1998).