正则变换生成函数

在哈密顿力学里，当计算正则变换时，生成函数扮演的角色，好似在两组正则坐标 $(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )$ ，$(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$ 之间的一座桥。为了要保证正则变换的正确性 ，采取一种间接的方法，称为生成函数方法。这两组变数必须符合方程式

$\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}+{\frac {dG}{dt}}$ ；(1)

其中，$\mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N})$ 是旧广义坐标，$\mathbf {p} =(p_{1},\ p_{2},\ \dots ,\ p_{N})$ 是旧广义动量，$\mathbf {Q} =(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N})$ 是新广义坐标，$\mathbf {P} =(P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{N})$ 是新广义动量，${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t),\ {\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$ 分别为旧哈密顿量与新哈密顿量，$G(-,\ -,\ t)$ 是生成函数，$t$ 是时间。

生成函数 $G$ 的参数，除了时间以外，一半是旧的正则坐标；另一半是新的正则坐标。视选择出来不同的变数而定，一共有四种基本的生成函数。每一种基本生成函数设定一种不同的变换，从旧的一组正则坐标变换为新的一组正则坐标。这变换 $(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$ 保证是正则变换。

生成函数列表

生成函数	导数
$G=G_{1}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)$	$\mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\ ,\qquad \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}$
$G=G_{2}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)-\mathbf {Q} \mathbf {P}$	$\mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\ ,\qquad \mathbf {Q} =~~{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}$
$G=G_{3}(\mathbf {p} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)+\mathbf {q} \mathbf {p}$	$\mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\ ,\qquad \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}$
$G=G_{4}(\mathbf {p} ,\ \mathbf {P} ,\ t)+\mathbf {q} \mathbf {p} -\mathbf {Q} \mathbf {P}$	$\mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\ ,\qquad \mathbf {Q} =~~{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}$

第一型生成函数

第一型生成函数 $G_{1}$ 只跟旧广义坐标、新广义坐标有关，

$G=G_{1}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)$ 。

代入方程式 (1) 。展开生成函数对于时间的全导数，

$\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}$ 。

新广义坐标 $\mathbf {Q}$ 和旧广义坐标 $\mathbf {q}$ 都是自变量，其对于时间的全导数 ${\dot {\mathbf {Q} }}$ 和 ${\dot {\mathbf {q} }}$ 互相无关，所以，以下 $2N+1$ 个方程式都必须成立：

$\mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}$ ，(2)

$\mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}$ ，(3)

${\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}$ 。(4)

这 $2N+1$ 个方程式设定了变换 $(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$ ，步骤如下：

第一组的 $N$ 个方程式 (2) ，设定了 $\mathbf {p}$ 的 $N$ 个函数方程式

$\mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)$ 。

在理想情况下，这些方程式可以逆算出 $\mathbf {Q}$ 的 $N$ 个函数方程式

$\mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)$ 。(5)

第二组的 $N$ 个方程式 (3) ，设定了 $\mathbf {P}$ 的 $N$ 个函数方程式

$\mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)$ 。

代入函数方程式 (5) ，可以算出 $\mathbf {P}$ 的 $N$ 个函数方程式

$\mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)$ 。(6)

从 $2N$ 个函数方程式 (5) 、(6) ，可以逆算出 $2N$ 个函数方程式

$\mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$ ，

$\mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$ 。

代入新哈密顿量 ${\mathcal {K}}$ 的方程式 (4) ，可以得到

${\mathcal {K}}={\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$ 。

第二型生成函数

第二型生成函数 $G_{2}$ 只跟旧广义坐标 $\mathbf {q}$ 、新广义动量 $\mathbf {P}$ 有关 ：

$G\equiv -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{2}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$ ；

代入方程式 (1) 。展开生成函数随时间的全导数：

$\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}$ 。

由于旧广义坐标 $\mathbf {q}$ 与新广义动量 $\mathbf {P}$ 必须彼此无关，以下 $2N+1$ 方程式必须成立：

$\mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}$ ，(7)　

$\mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}$ ，(8)

${\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}$ 。(9)

这 $2N+1$ 个方程式设定了变换 $(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$ 。步骤如下：

第一组的 $N$ 个方程式 (7) ，设定了 $\mathbf {p}$ 的函数方程式

$\mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$ 。

在理想情况下，这些方程式可以逆算出 $\mathbf {P}$ 的函数方程式

$\mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)$ 。(10)

第二组的 $N$ 个方程式 (8) ，设定了的函数方程式

$\mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$ 。

代入函数方程式 (10) ，可以算出 $\mathbf {Q}$ 函数方程式

$\mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)$ 。(11)

由函数方程式 (10) 、(11) ，可以算出函数方程式

$\mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$ ，

$\mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$ 。

代入新哈密顿量的方程式 (9) ，则可得到

${\mathcal {K}}={\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$ 。

第三型生成函数

第三型生成函数只跟旧广义动量 $\mathbf {p}$ 、新广义坐标 $\mathbf {Q}$ 有关：

$G\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} +G_{3}(\mathbf {p} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)$ 。

以下 $2N+1$ 方程式设定了变换 $(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$ ：

$\mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}$ ，

$\mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}$ ，

${\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}$ 。

第四型生成函数

第四型生成函数 $G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)$ 只跟旧广义动量 $\mathbf {p}$ 、新广义动量 $\mathbf {P}$ 有关：

$G\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)$ 。

以下 $2N+1$ 方程式设定了变换 $(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$ ：

$\mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}$ ，

$\mathbf {Q} =~~{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}$ ，

${\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}$ 。

实例 1

第一型生成函数有一个特别简易案例：

$G_{1}\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {Q}$ 。

方程式 (2) ，(3) ，(4) 的答案分别为

$\mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {Q}$ ，

$\mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}=-\mathbf {q}$ ，

${\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)$ 。

实例 2

再举一个涉及第二型生成函数，比较复杂的例子。让

$G_{2}\equiv \mathbf {g} (\mathbf {q} ;\ t)\cdot \mathbf {P}$ ；

这里， $\mathbf {g}$ 是一组 $N$ 个函数。

答案是一个广义坐标的点变换，

$\mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}=\mathbf {g} (\mathbf {q} ;\ t)$ 。

实例 3

有时候，可以将一个给定的哈密顿量，变成一个很像谐振子的哈密顿量，

${\mathcal {H}}=aP^{2}+bQ^{2}$ 。

例如，假若哈密顿量为

${\mathcal {H}}={\frac {1}{2q^{2}}}+{\frac {p^{2}q^{4}}{2}}$ ；(12)

这里，$p$ 是广义动量，$q$ 是广义坐标。

一个优良的正则变换选择是

$P=pq^{2}$ ，(13)

$Q=-{\frac {1}{q}}$ 。(14)

代入方程式 (12) ，新哈密顿量的形式与谐振子的哈密顿量型式相同：

${\mathcal {H}}={\frac {Q^{2}}{2}}+{\frac {P^{2}}{2}}$

这变换用的是第三型生成函数 $G_{3}(p,\ Q)$ ；其对于 $Q$ 的导数是

${\frac {\partial G_{3}}{\partial Q}}=-P$ 。

代入方程式 (13) 、(14) ，

${\frac {\partial G_{3}}{\partial Q}}=-{\frac {p}{Q^{2}}}$ 。

对于 $Q$ 积分，可以得到生成函数 $G_{3}$ ：

$G_{3}(p,\ Q)={\frac {p}{Q}}$ 。

最后，检查答案是否正确：

$q=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial p}}={\frac {-1}{Q}}$ 。

参阅

• 哈密顿-亚可比方程式
• 帕松括号
• 正则变换列表

参考文献

• Goldstein, Herbert. Classical Mechanics. Addison Wesley. 2002. ISBN 978-0-201-65702-9.