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二十面体半形

抽象正多面體

在抽象几何学中，二十面体半形是一种抽象正多面体，由一半数量的正二十面体面构成。二十面体半形可被视为是一种射影多面体（英语：projective polyhedron），可视为由十个三角形构成的实射影平面镶嵌。

二十面体半形
二十面体半形
类别抽象多胞形（英语：Abstract polytope）
射影多面体（英语：projective polyhedron）
对偶多面体十二面体半形
数学表示法
施莱夫利符号{3,5}/2
{3,5}5
性质
面10
边15
顶点6
欧拉特征数F=10, E=15, V=6 （χ=1）
组成与布局
顶点图3.3.3.3.3
对称性
对称群A5, 60阶
特性
不可定向、 欧拉示性数为1
图像

3.3.3.3.3
（顶点图）

十二面体半形
（对偶多面体）

性质

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二十面体半形是一种抽象正多面体（英语：Abstract regular polytope），共由10个面、15条边和6个顶点组成；其中所有10个面都是正三角形、每个顶点都是5个正三角形的公共顶点，在施莱夫利符号中可以用{3,5}5[1]或{3,5}/2[2]来表示，其中{3,5}代表且每个顶点都是5个正三角形的公共顶点，然而{3,5}代表正常的正二十面体，因此用{3,5}5符号来表示二十面体半形[3]。二十面体半形的皮特里多边形为五边形。[4]

 
二十面体半形 		 
二十面体半形的皮特里多边形

二十面体半形的对偶多面体为十二面体半形[5]。

 
二十面体半形 		 
二十面体半形的对偶多面体
十二面体半形

二十面体半形的对称群为A5考克斯特群。所有多面体中仅有2种多面体具备A5考克斯特群对称性[6]，另外一个与A5考克斯特群对应的半形体为大十二面体半形。[7]

具象化

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二十面体半形是一个抽象多面体，其无法实体存在，但可以透过一些手段来具象化。其中一种方式是使用其对应的正则地区图来具象化。二十面体半形对应的正则地区图可被具象为一个五维空间扭歪正多面体，该多面体所有6个顶点和15条边皆位于五维正六胞体上[8]，而原有五维正六胞体有20个三角形面，而对应的二十面体半形之扭歪多面体具象化则仅交错地取其中10个面[9]，并且相邻的2个面位于相同三维平坦空间中，但整体立体不位于相同三维空间中，因此是一个扭歪多面体。[10]在这个具象化中，其三角形-三角形二面角为3的反正割值（ 弧度，约70.5287795度），与一般正二十面体的三角形-三角形二面角（ 弧度，约138.189685度）不同。 [10]

在拓朴学上，二十面体半形与四面半六面体相关。若将四面半六面体的每一个正方形面替换为2个三角形，则所形成的立体若只看面之间的相邻关系，会与二十面体半形无异，即每个顶点都是5个三角形的公共顶点，且由10个面（4个正三角形与6个直角三角形）、15条边（12条四面半六面体的边与3条正方形面替换为2个三角形时形成的边）和6个顶点组成。[11]

完全图K6

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二十面体半形和五维正六胞体有著相同的边以及顶点，但只有其一半数量的面[9]。而五维正六胞体对应的骨架图为 完全图，即有著六个顶点的完全图[9]，因此从图论的角度来看，二十面体半形可以视为是嵌入于实射影平面的 完全图。其对应的对偶图皮特森图也对应到了二十面体半形的对偶多面体十二面体半形。[12]

 
完全图K6表示出二十面体半形的六个顶点以及十五条边

相关多面体

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相关半形体

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正二十面体可以经过一系列的多面体变换转变为半正多面体，部分半正多面体也存在对应的半形体，例如截角二十面体半形、截半二十面体半形等[13][14]。

截角二十面体半形

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截角二十面体半形是截角二十面体的半形体，又称为足球半形（Hemi-Soccer Ball）。其出现在四维正五十七胞体的一种具象化的第二层结构中[15]，由16个面、45条边和30个顶点组成。其可透过将截角二十面体的每个顶点与对应的对跖点合并构成[13][16]。

 

截半二十面体半形

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截半二十面体半形是截半二十面体的半形体。其也可以透过将二十面体半形或十二面体半形进行截半变换构成。[14]

相关皮特里对偶

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部分皮特里对偶与正二十面体或其半形体相关，例如二十面体半形的皮特里对偶或正二十面体的皮特里对偶。[17]

二十面体半形的皮特里对偶

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二十面体半形的皮特里多边形为五边形[4]，其对应的皮特里对偶为每个顶点由5个五边形（二十面体半形的皮特里多边形）组成的抽象多面体，其在施莱夫利符号中可以用{5,5}3表示[18]。这个抽象多面体是一个自身对偶多面体，并且可以被小星形十二面体、大十二面体或其他等价于亏格为5的{5,5}几何结构（的表面）二重复盖[17][19]。这个几何体对应的骨架图与二十面体半形相同，皆为K6完全图。[17]

 
二十面体半形 		 
二十面体半形的皮特里多边形 		 
二十面体半形的皮特里对偶

皮特里二十面体

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皮特里二十面体
 
以不同颜色表示每个面
类别皮特里对偶
正则地区图
数学表示法
施莱夫利符号{3,5}π
性质
面6
边30
顶点12
欧拉特征数F=6, E=30, V=12 （χ=-12）
二面角(不存在)
对称性
对称群Ih, H3, [5,3], *532
特性
扭歪、正则

皮特里二十面体是正二十面体的皮特里对偶，可以透过将原有正二十面体上取皮特里多边形构成，换句话说，皮特里二十面体为由正二十面体的皮特里多边形构成的立体[20]。由于正二十面体的皮特里多边形为扭歪十边形，因此无法确立其封闭范围，故无法计算其表面积和体积。

皮特里二十面体是一个不可定向且亏格为14的几何结构[21]。皮特里二十面体共有6个面、30条边和12个顶点。其中面由6个扭歪十边形面组成，每个顶点都是5个扭歪十边形的公共顶点。[21]

 
二十面体的皮特里多边形 		 
构成皮皮特里二十面体的扭歪十边形面

皮特里二十面体与正二十面体互为皮特里对偶，也就是说，皮特里二十面体的皮特里对偶为正二十面体，换句话说，即皮特里二十面体的皮特里多边形为三角形[21][22]。

皮特里大十二面体与皮特里小星形十二面体

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更多信息：皮特里大十二面体和皮特里小星形十二面体
{6,5}
  
左：皮特里大十二面体
右：皮特里小星形十二面体
以不同颜色表示每个面
类别皮特里对偶
正则地区图
数学表示法
施莱夫利符号皮特里大十二面体：{5,5/2}π
皮特里小星形十二面体：{5/2,5}π
性质
面10
边30
顶点12
欧拉特征数F=10, E=30, V=12 （χ=-8）
二面角(不存在)
对称性
对称群Ih, H3, [5,3], *532
特性
扭歪、正则

皮特里大十二面体是大十二面体的皮特里对偶，由大十二面体的皮特里多边形组成。由于大十二面体与小星形十二面体对应相同的正则地区图[23]，因此皮特里大十二面体对应的正则地区图也与皮特里小星形十二面体相同，皆由10个面、30条边和12个顶点组成[24]。

 
构成皮特里大十二面体的扭歪六边形面 		 
构成皮特里小星形十二面体的扭歪六边形面

其对应的骨架为正二十面体。[23]

名称 构成面
 
皮特里二十面体 		 
扭歪十边形
 
皮特里大十二面体 		 
扭歪六边形

参见

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参考文献

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  1. ^ Ellers, Erich W. Erich W. Ellers, Branko Grünbaum, Peter McMullen, Asia Ivic Weiss. NOTICES OF THE AMS. 2003, 50 (10). 
  2. ^ Schulte, Egon. Classification of locally toroidal regular polytopes. Polytopes: Abstract, convex and computational (Springer). 1994: 125––154. 
  3. ^ McMullen, Peter; Schulte, Egon, 6C. Projective Regular Polytopes, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press: 162–165, December 2002, ISBN 0-521-81496-0 
  4. ^ 4.0 4.1 Monson, Barry and Ivić Weiss, Asia. Cayley graphs and symmetric 4-polytopes. Ars Mathematica Contemporanea. 2008, 1 (2). 
  5. ^ Hartley, Michael I. The Classification of Rank 4 Locally Projective Polytopes and Their Quotients. arXiv preprint math/0310429. 2003. 
  6. ^ Fernandes, Maria Elisa and Leemans, Dimitri and Mixer, Mark. Polytopes of high rank for the alternating groups. Journal of Combinatorial Theory, Series A (Elsevier). 2012, 119 (1): 42––56. 
  7. ^ Fernandes, Maria Elisa and Leemans, Dimitri and Mixer, Mark. All Alternating Groups   with   Have Polytopes of Rank  . SIAM Journal on Discrete Mathematics (Society for Industrial and Applied Mathematics). 2012, 26 (2): 482. doi:10.1137/110838467. 
  8. ^ Coxeter, Harold Scott Macdonald, Twelve geometric essays, Carbondale: Southern Illinois University Press: 80, 1968 
  9. ^ 9.0 9.1 9.2 Séquin, Carlo H, A 10-Dimensional Jewel, Gathering for Gardner G4GX, Atlanta, GA, 2012 
  10. ^ 10.0 10.1 Coxeter, HSM, A symmetrical arrangement of eleven hemi-icosahedra, North-Holland Mathematics Studies (Elsevier), 1984, 87: pp. 103–114 
  11. ^ Gailiunas, Paul; et al, Polyhedral Models of the Projective Plane, Bridges 2018 Conference Proceedings, 2018: 543–546 
  12. ^ Melikhov, Sergey A. Combinatorics of embeddings. arXiv preprint arXiv:1103.5457. 2011. 
  13. ^ 13.0 13.1 The Hemi-Soccer Ball. wmich.edu. [2021-08-05]. （原始内容存档于2021-08-05）.  （页面存档备份，存于互联网档案馆）
  14. ^ 14.0 14.1 The hemi-icosidodecahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-30]. （原始内容存档于2021-08-02）.  （页面存档备份，存于互联网档案馆）
  15. ^ Séquin, Carlo and Hamlin, James. The regular 4-dimensional 57-cell. ACM SIGGRAPH 2007 Sketches, SIGGRAPH'07. 2007-08. doi:10.1145/1278780.1278784. 
  16. ^ Carlo H. Séquin; James F. Hamlin. The Regular 4-Dimensional 11-cell and 57-cell. SIGGRAPH 2007, San Diego, University of California, Berkeley. [2021-08-06]. （原始内容存档于2016-03-03）.  （页面存档备份，存于互联网档案馆）
  17. ^ 17.0 17.1 17.2 C5:{5,5}. Regular Map database - map details. [2021-07-30]. 
  18. ^ McMullen, P. and Schulte, E., A Universality Propetry of  , Abstract Regular Polytopes, Abstract Regular Polytopes (92 卷) (Cambridge University Press), 2002, (92 卷): 268, ISBN 9780521814966, LCCN 02017391 
  19. ^ S4:{5,5}. Regular Map database - map details. [2021-07-30]. 
  20. ^ Gorini, Catherine A., Geometry at Work, MAA Notes 53, Cambridge University Press: 181, 2000, ISBN 9780883851647 
  21. ^ 21.0 21.1 21.2 N14.3′. Regular Map database - map details. [2021-08-05]. （原始内容存档于2021-08-05）.  （页面存档备份，存于互联网档案馆）
  22. ^ The icosahedron. Regular Map database - map details. [2021-08-04]. （原始内容存档于2021-08-01）.  （页面存档备份，存于互联网档案馆）
  23. ^ 23.0 23.1 S4:{5,5}. Regular Map database - map details, weddslist.com. [2021-07-30]. 
  24. ^ N10.5′. Regular Map database - map details, weddslist.com. [2021-07-30]. （原始内容存档于2021-08-05）.  （页面存档备份，存于互联网档案馆）

外部链接

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检索自“https://zh.wiki.x.io/w/index.php?title=二十面體半形&oldid=79221552”