讨论:一阶逻辑

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什么逻辑可以形式化全部的集合论和几乎所有的数学？（推荐，user:Mhss创作，18,425 bytes ）--木木 12:29 2007年3月29日 (UTC)
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"某些旧的书籍和论文使用符号φ ⊃ ψ表示φ → ψ，" 这句话是不是反了，应该是符号φ ⊃ ψ表示ψ → φ ？THorse（留言） 2012年4月4日 (三) 15:39 (UTC)

最新留言：在12年前发布2条留言2人参与讨论

请指教 THorse（留言） 2012年4月4日 (三) 15:39 (UTC)回复

我把它改掉了。你问的问题现在在“语法->词汇表->逻辑符号”里。这应该是在很久以前符号还没统一的事情，⊃也不是现在常见的“包含”的意思，而只是个符号。--嗡嗡（留言） 2012年4月8日 (日) 09:57 (UTC)回复

看不懂

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看不懂--維基小霸王（留言） 2013年10月1日 (二) 15:24 (UTC)回复

外部链接已修改

最新留言：在7年前发布1条留言1人参与讨论

各位维基人：

我刚刚修改了一阶逻辑中的1个外部链接，请大家仔细检查我的编辑。如果您有疑问，或者需要让机器人忽略某个链接甚至整个页面，请访问这个简单的FAQ获取更多信息。我进行了以下修改：

向 http://goedel.cs.uiowa.edu/smtlib/ 中加入存档链接 https://web.archive.org/web/20120314230848/http://goedel.cs.uiowa.edu/smtlib/

有关机器人修正错误的详情请参阅FAQ。

祝编安。—InternetArchiveBot (报告软件缺陷) 2017年9月6日 (三) 20:58 (UTC)回复

关于无法刻划实数系的问题

最新留言：在3年前发布29条留言2人参与讨论

您好HTinC23，数学上可以构造出的实数系本来就不是唯一的，可以参考

https://en.wiki.x.io/wiki/Construction_of_the_real_numbers

但是可以证明它们"计算上一对一的对应"，关于这点请参考

https://math.stackexchange.com/questions/269353/isomorphism-of-dedekind-complete-ordered-fields

所以实用上也不成什么大问题。我反倒认为"不能刻画"这个模糊的描述会引起误解。

问题最大一点是你认为least upper bound性质无法以一阶逻辑叙述是完全有误的，因为

(s\subseteq \mathbb {R} )\wedge (u\in \mathbb {R} )\wedge (\forall x\in s)(u\geq x)\wedge (\forall y\in \mathbb {R} )[(y<u)\Rightarrow (\exists z\in s)(z>y)]

就已经是 $u$ 为 $s$ 的最小上界的定义了，合理性基于

x\in \mathbb {R} ,\,y\in \mathbb {R} \vdash \neg (x\geq y)\Leftrightarrow (y>x)

上面用了一些简写的符号定义如下(若 $T$ 、 $S$ 为项)

(\forall x\in T){\mathcal {A}}:=\forall x[(x\in T)\Rightarrow {\mathcal {A}}]

(\exists x\in T){\mathcal {A}}:=\exists x[(x\in T)\wedge {\mathcal {A}}]

(S\geq T):=[(S=T)\vee (S>T)]

以上关于量词的简写定义的合理性可以参见敝人的笔记

https://hackmd.io/-fn8kvl3QDKoNti85vqB9A?view#%E9%87%8F%E8%A9%9E%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E7%9A%84%E7%B0%A1%E5%8C%96

另外二阶逻辑在语义上是有缺陷的，请参考 Introduction to Mathematical Logic关于二阶逻辑的附录A的后半段提到二阶逻辑是不完备的(standardly valid不等同于"可证明")。作者也有提到这大概就是为何大部分数学家不采用二阶逻辑的原因。

注:大于小于不必然要视为断言符号。它可由皮亚诺公理的大于小于，沿着实数的建构过程一路延伸出来。而皮亚诺的(m>n)又是从“存在a≠0使m=n+a”定义来的。当然你也可以"强迫"把实数系视为一个带集合论公理的独立系统，但我们一样可以用“存在实数r≠0使m=n+r”去定义(m>n)。

谢谢您!--C44986054（留言） 2021年11月14日 (日) 18:19 (UTC)回复

@C44986054：实数域的（高阶逻辑）的不同构造之间有"计算上一对一的对应"（同构）是对的，即dedekind complete ordered fields的（高阶）理论有（同构意义下唯一）的模型，但并无类似的一阶理论，因为任何一阶逻辑理论，若描述实数系，则亦有其他与实数系不同构的一阶模型，例如用超积构造的超实数系便是满足完全一样的一阶理论，但与实数系不同构，亦即没有“计算上一对一的对应”。
阁下对least upper bound性质的写法，第一句若 $s\subseteq \mathbb {R}$ 已不合式，因为所考虑的实数的理论（theory of dedekind complete ordered fields）中，标识是四则运算 $+,-,\times ,\cdot ^{-1}$ 和大小序 $<$ （如阁下所言，可有可无，不影响），但没有 $\subseteq$ ，而且变数取值只能是模型的元素而非子集，即一阶版本的theory of dedekind complete ordered fields中无法写下“对任意子集 $s$ ，⋯⋯”。如果讨论的是集合论宇宙的一阶理论，才可以写 $(\forall s\subseteq t)p(s)$ （作为 $(\forall s)(s\subseteq t\implies p(s))$ 的简写），因为此时量化的 $s$ 是论域（集合论宇宙）的元素，即集合。对于实数系的理论，量化的 $s$ 只能是论域（某dedekind complete ordered field）的元素，不是其子集。
“least upper bound性质无法以一阶逻辑叙述”一句，并非在下独创，见于许多逻辑教科书/讲义，如Johnstone, P. T. Notes on logic and set theory. Cambridge University Press. 1987. doi:10.1017/CBO9781139172066. 第30页（原文：the axioms for a (Dedekind) complete ordered field categorize the real line $\mathbb {R}$ . The problem is that the Dedekind completeness axiom $(\forall S\subseteq \mathbb {R} )(S\neq \varnothing {\text{ and }}S{\text{ has an upper bound}})\implies (S{\text{ has a least upper bound}}))$ involves a quantification over subsets of $\mathbb {R}$ ; once again, we can replace it by a scheme of first-order axioms in the language of ordered rings (i.e. the language of rings with an additional binary predicate $\leq$ ), but there are only countably many such axioms and the resulting theory will have a countable model）。
这是有关一阶逻辑的重要内容，英文条目亦置于导言（见其导言尾二段），应予保留。希望有澄清到阁下的疑问。——HTinC23（留言） 2021年11月14日 (日) 19:38 (UTC)回复
如需一阶逻辑尤其Löwenheim–Skolem相关的简短讲义，在下推荐[1]第四章。——HTinC23（留言） 2021年11月14日 (日) 19:41 (UTC)回复
刻划并非模糊描述，刻划（characterise）即是给出充要条件，一个理论刻划一个结构即该理论的模型必为该结构（同构意义下）。某理论不能刻划可数性的意思是该理论无法控制其模型是否可数，即该理论有可数模型又有不可数模型。如果阁下认为此种更具体的写法可以澄清文意，在下乐意加入条目。——HTinC23（留言） 2021年11月14日 (日) 19:45 (UTC)回复

您好HTinC23

戴德金分割本身是可以用一阶逻辑(公理化集合论)叙述的观念，并非一定为高阶逻辑。原因乃从正整数到实数的建构，只需要集合论公理就足够了。
包含本身是一阶逻辑集合论的延伸符号(以下采用Introduction to Mathematical Logic第四章的定义)

x\subseteq y:=(\forall z)[(z\in x)\Rightarrow (z\in y)]

而集合论只需要属于这个断言就足以，详见Introduction to Mathematical Logic第四章，另外我也将前面的包含叙述直接搬进定义了。这样就不会有你说的问题了。

你第三点的引用教科书很可能是错误的内容。请参见

https://en.wiki.x.io/wiki/Skolem%27s_paradox

这一点Introduction to Mathematical Logic p.270的习题4.65也有说明(后面附录有详解XD)。

英文维基也有可能有错。
即该理论有可数模型又有不可数模型这件事听起来不是跟没说一样吗。。。。

--C44986054（留言） 2021年11月14日 (日) 20:26 (UTC)回复

@C44986054：

在下认同包含是集合论（set theory，即theory of set theoretic universe）的延伸符号，可以写，在下先前已认同这一点（“集合论宇宙的一阶理论，才可以写”）。
但包含不是实数系的理论（theory of dedekind complete ordered fields）的符号或延伸符号，因为该理论用的符号没有 $\in$ 。前者set theory写量化 $\forall x$ 时， $x$ 是set theoretic universe中的元素，即集合，而该理论的标识中，有 $\in$ 符号，可以写 $x\in y$ ，但后者theory of dedekind complete ordered fields中，写量化 $\forall x$ 时， $x$ 是dedekind complete ordered fields中的元素，在dedekind complete ordered fields中，没有 $\in$ 符号，只有 $0,1,+,-,\times ,\bullet ^{-1},<$ 等，可以谈论两元素是否满足 $x<y$ 但不能写 $x\in y$ ，从而

(\forall z)[(z\in x)\Rightarrow (z\in y)]

在theory of dedekind complete ordered fields中是不合式的。

阁下可能误解了“实数系的理论”的意思，这与如何在集合论宇宙中找出宇宙的一个元素作为实数系（即阁下的“建构”）无关。
“即该理论有可数模型又有不可数模型这件事听起来不是跟没说一样吗。。。。”如果听仔细一点就会发现不是，例如“实数系的一阶理论 $T$ 既有可数模型又有不可数模型”是很惊奇的一件事，因为 $T$ 的可数模型与实数系不同构，但该模型与实数系满足的一阶命题完全一样。
en: Skolem's_paradox的内容与在下所言及书中内容皆无矛盾，事实上该条目与en: First-order_logic皆写得不错。——HTinC23（留言） 2021年11月14日 (日) 20:57 (UTC)（2021年11月14日 (日) 21:20 (UTC)修订）回复
另想请教阁下读的Introduction to Mathematical Logic作者为何？搜寻书名似乎有许多同名书，未能评论，不过想必不会与其他数理逻辑/模型论教科书有重大矛盾。——HTinC23（留言） 2021年11月14日 (日) 21:02 (UTC)回复

@HTinC23：我的参考用书是Elliott Mendelson的Introduction to Mathematical Logic。

我认为无须坚持theory of dedekind complete ordered fields，因为这个理论忽略了微积分论证上需要反复使用集合的部分。另外很抱歉我一开始没有说明我采用的是Elliott Mendelson书内介绍的冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论；这个集合论把 $x$ 解释为类而非集合，和一般的ZF还是有不小的差异(虽然是ZF的保守扩展)。

你认为的无法刻划之处，是来自于康托尔定理(我的书是在p.264引里4.25)保证了可以从可数集合造出更大基数的集合(也就是幂集合)，似乎跟勒文海姆–斯科伦定理保证的存在一阶逻辑的模型有可数论域矛盾。但4.65的习题解答说明这没有矛盾。 --C44986054（留言） 2021年11月14日 (日) 21:37 (UTC)回复

@C44986054：在下说的无法刻划之处并非康托尔定理，也无须坚持theory of dedekind complete ordered fields，可以换成任何一阶理论如集合论。该无法刻划之处是正是由勒文海姆–斯科伦定理保证，若某个一阶理论有不可数模型，也必有可数模型。习题4.65是正确的，与在下所说无法刻划之处也无矛盾。习题4.65正是该无法刻划之处的一个方面，其提及一阶理论（如NBG，若自恰）有可数模型。但同时NBG若自恰则也有不可数模型。所以说一阶理论（如NBG）无法刻划可数性。——HTinC23（留言） 2021年11月14日 (日) 23:06 (UTC)回复

Mendelson书中也有“一阶理论无法刻划实数系”的表述，虽然并未用到characterise一字。见2.14.1 Nonstandard Analysis p.136 "constructing models that are elementarily equivalent to, but not isomorphic to, the ordered field of real numbers." 初等等价即具有同样的一阶理论，所以该句正是说实数系的一阶理论有与实数系不同构的其他模型，此即“一阶理论无法刻划实数系”之义。HTinC23（留言） 2021年11月14日 (日) 23:14 (UTC)回复
- 类似的还有习题3.6（p.169），要说明为何（高阶）PA理论的模型同构之证明，对一阶版本的PA不适用。理由当然是，“真的”数学归纳法原理要对子集量化（“对任意子集 $S$ ，若 $0\in S$ 且 $n\in S\implies n+1\in S$ ，则 $S$ 为全个论域”），在一阶语言只能对元素量化而不能对子集量化，数学归纳法原理"cannot be formulated within the language of S"（Mendelson p.435题解），与在下此前所谓“（least upper bound性质）无法以一阶逻辑叙述”意思一样，仅是将该性质换成数学归纳法原理，此谓之“一阶理论无法刻划自然数的算术”。然后类推可以理解上面在下引述Johnstone的说话，为何（高阶）theory of dedekind complete ordered fields的模型同构之证明，对一阶版本的theory of dedekind complete ordered fields不适用，理由是在一阶语言只能对元素量化而不能对子集量化（Johnstone所言），此之谓“一阶理论无法刻划实数系”。——HTinC23（留言） 2021年11月14日 (日) 23:38 (UTC)（2021年11月14日 (日) 23:53 (UTC)增补）回复

@HTinC23：您好

先声明一下，勒文海姆–斯科伦定理最后仅要求只要是自洽一阶理论都会有可数模型，详见Mendelson的p.88。

刚刚才看懂Mendelson的习题想表达的是什么。首先勒文海姆–斯科伦定理严格来说是基于集合论来定义计数，所以既然说有论域是可数意为它和 $\omega$ 间存在一个一对一函数(注意函数本身是特殊的有序对集合)。而康托尔定理最原始的叙述是

\vdash x\prec 2^{x}

其中

x\cong y:=\exists f\{(f:x\to y)\wedge \forall a\forall b\forall c[((a,\,b)\in f\wedge (a,\,c)\in f)\Rightarrow (b=c)]\wedge \forall d\exists e[d\in x\Rightarrow (d,e)\in y]\}

x\prec y:=\neg (x\cong y)\wedge \exists z[(z\subseteq y)\wedge (x\cong z)]

$f:x\to y$ 的符号定义要讲很多东西(类存在公理关于定义域跟置换的部分)，你可以自己去看。不过重点是在NBG集合论有可数论域 $D$ 的模型 $M$ 下，因为一节逻辑的完备性，我们会有

\models _{M}\neg (\omega \cong 2^{\omega })

如果取使公式 $x=2^{\omega }$ 为真的所有 $x$ 构成的集合为d，那会有 $\models _{M}\neg (\omega \cong d)$ ，也就是 $D$ 内找不到让他们一对一对应的函数。但是取公式 $x\in d$ 为真的集合(语意解释下的 $d$ )，因为是论域的子集，照计数的定里应该也是可数或是有限啊!问题出在让这个语意解释下的 $d$ 和语意解释下的 $\omega$ 一对一对应的那个"函数"，根据解释并不在这个论域里。(语意解释下的 $d$ 为有限部分的那个"一对一对应"函数，因 $\exists z[(z\subseteq y)\wedge (x\cong z)]$ 的语意解释而被保证在论域里。)

也就是勒文海姆–斯科伦定理并没有真的推出"不可数"与"可数"的矛盾。Johnstone 说触及实数的理论里，量词不可以包括集合的理由就是基于这个"矛盾"(以下有提及以可数个项和公式去构造这个"病态论域"的部分)，但其实是我们对于计数的定义，让这种"病态论域"无法正确的说明其语意解释下的 $d$ 事实上为可数。有学者建议修改计数的定义，尝试让所有模型都可以正确的描述"可数"的观念，但我个人是认为把这些病态的模型剃除掉就好。

你可以参考Mendelson p.86为了证明勒文海姆–斯科伦定理所预备的引理，是以塞跟自然数一样多的公式为公理来证明；另外这个可数论域就是抓纯粹由常数和函数符号组成的项为元素(没错!用项组成，详细请参考lemma2.16如何建构解释)，NBG到最后只有空集合跟空类是真正的常数，函数符号就是交集、连集、补集、幂集、定义域、值域和笛卡尔积之类的，照理来说是可以组装出这个"一对一"的函数的(因为无限公理本意就是以空集合为基础建立"正整数")。你可以想见这个可数论域是多么的病态了。

至于Nonstandard Analysis 的那部分，Mendelson只是想告诉你罗宾逊造出来的"无穷小数"系无法跟实数系一对一，并非是在说明实数系的性质。

不要再坚持用一阶版本的theory of dedekind complete ordered fields理解实数了。我一开始贴那篇是想告诉你，从集合论建构的戴德金分割出发，可以证明戴德金方法建构的实数跟满足完备性的有序体(集合)有计算上的一对一(比较刺激一点的话，当然可以从两个不同的完备性有序体出发)，可以从正整数为基础去建构和理解每个步骤何乐不为。你把符号订死当然不会有集合的记号可以用，就像你可以关起门来写一本乌托邦小说，但你还是要接受反乌托邦的现实。数学家还是需要集合论，而且二阶逻辑的语义不但不完备，甚至一样需要集合论的帮助来建构。

我建议表述为"勒文海姆–斯科伦定理造成了语义解释上"假性"的计数矛盾，但并没有完全禁止一阶逻辑形式上描述计数。(你那个"刻划"的定义没把形式定义的可数跟解释上的可数做分别，我认为不够清楚) --C44986054（留言） 2021年11月15日 (一) 02:06 (UTC)回复

@C44986054：

“勒文海姆–斯科伦定理最后仅要求只要是自洽一阶理论都会有可数模型”在下认同（假设标识中只有可数多个符号）。“勒文海姆–斯科伦定理严格来说是基于集合论来定义计数”有一点问题，该定理不是一阶集合论内的定理，而是元定理（因为同时谈论不同的论域），其中可数与否是按外界（元数学）而言，不是一阶集合论内是否可数。
阁下对Mendelson的习题和康托尔定理的解读是正确的。在下完全认同。
勒文海姆–斯科伦定理当然没有推出任何矛盾。在下完全认同。
不认同阁下对Johnstone的理解。不可以对论域子集量化是一阶逻辑量词的定义，只可以对论域的元素量化。其后“可数个项和公式”并非去构造这个"病态论域"的部分，而是解释若尝试用一阶语言表达“对所有子集⋯⋯”会有何问题，即无法排除病态论域，结论是无法表达（若能表达，就能藉阁下“一开始贴那篇，从集合论建构的戴德金分割出发，可以证明戴德金方法建构的实数跟满足完备性的有序体(集合)有计算上的一对一”，但实数与病态论域之间没有此种一对一。）
“罗宾逊造出来的"无穷小数"系无法跟实数系一对一，并非是在说明实数系的性质”在下完全认同，但是说明了实数系的理论的性质，换句话说，说明了实数系的一阶性质。如在下先前引述，该系“elementarily equivalent to, but not isomorphic to, the ordered field of real numbers”，即超实数系与实数系具有完全一样的一阶理论。
阁下一开始贴那篇是正确的，也是从正整数为基础去建构和理解每个步骤，在下完全认同，但如在下所言，这是关于“如何在集合论宇宙中找出宇宙的一个元素作为实数系（即阁下的“建构”）”，与“一阶理论无法刻划实数系”完全无关，尤其阁下一开始贴那篇的证明同构时，要用到实数系的高阶公理（least upper bound性质）。
在下没有“坚持用一阶版本的theory of dedekind complete ordered fields理解实数”，在下一直认同（高阶版本理论下）实数系在同构意义下唯一。但本条目是有关一阶逻辑，“一阶理论无法刻划实数系”是一阶逻辑的重要结论，并无不可。刻划显然是一般数学用词而非一阶理论内的用词，一阶逻辑是研究any first order theory的数学，正如群论是研究theory of groups的数学，数理逻辑中当然可以用一般数学用词，而不必全面形式化。
“数学家还是需要集合论”是正确的，但与本讨论无关。
既然阁下认同勒文海姆–斯科伦定理，请视“一阶理论无法刻划大小”为广泛使用的，“直观”解释勒文海姆-斯科伦定理的口号，不多不少，没有任何奇怪的意思。在下上课时，先生教完勒文海姆–斯科伦定理的严格证明后，都会用此方式解释。作为通俗说法，置于维基百科条目是合适的（而且如在下解释刻划的含义，该口号虽然通俗，但字面还是正确的，没有牺牲准确性），当然若认为不足亦可同时放严谨的叙述，但是形式叙述在学习数学上不能取代直观。
不支持写成“勒文海姆–斯科伦定理造成了语义解释上"假性"的计数矛盾”，因为本来就没有显然的矛盾，不应将一阶集合论内的计数与外界计数相混。“一阶理论无法刻划大小”只有在该一阶理论是集合论之类本身有计数概念的理论时，才会有阁下所说的“假性”矛盾，若一阶理论是其他理论如实数系的理论/群的理论/稠密线性序的理论⋯⋯则从来不会令人感到矛盾。换言之，“勒文海姆–斯科伦定理造成了语义解释上"假性"的计数矛盾”正确，但是“一阶理论无法刻划大小”是更简明扼要且适用于更大范围（不只是集合论）。两句说的是同一现象（勒文海姆–斯科伦定理），前者说明该定理在集合论的意义，后者则直接说明该定理（一般）的意义，所以后者更佳。——HTinC23（留言） 2021年11月15日 (一) 11:22 (UTC)回复
- “"刻划"的定义没把形式定义的可数跟解释上的可数做分别”方面，认同。如前一段所言，不必分别，因为谈论的是一阶理论，而不只是集合论此种一阶理论。一阶理论内一般（如theory of groups, theory of ordered field…）没有形式定义的可数，而只有外界（解释）的可数，多说反而可能会混淆读者。——HTinC23（留言） 2021年11月15日 (一) 11:26 (UTC)回复
  - “刻划”表述的常见程度，请考虑：
    1. 英文维基百科的编者采用（"No first-order theory, however, has the strength to uniquely describe a structure with an infinite domain, such as the natural numbers or the real line. "）
    2. 中文维基百科中，十多年前写该段的前辈User: Mhss采用。
    3. 在下亦主张采用。
  - 在下认为现时阁下与在下皆认同其含义，不妨改为考虑如何措辞。——HTinC23（留言） 2021年11月15日 (一) 11:33 (UTC)回复
    - 再追加类似的句子：Second-order and Higher-order Logic. Stanford Encyclopedia of Philosophy. This is a consequence of a weakness of first order logic: its sentences cannot limit the size of the model unless the size is finite. 在下认同百科全书中应当要有类似的写法，具体是cannot limit the size还是cannot characterise the size还是cannot uniquely describe the size或类似都可以。——HTinC23（留言） 2021年11月15日 (一) 12:25 (UTC)回复
    我认为"No first-order theory, however, has the strength to uniquely describe a structure with an infinite domain, such as the natural numbers or the real line. "这样的表述是最好的。尽量减少没有解释的专有名词。--C44986054（留言） 2021年11月15日 (一) 12:51 (UTC)回复
    很好，那就这样写吧。虽然“英文维基也有可能有错”，但这句的确是正确的。——HTinC23（留言） 2021年11月15日 (一) 15:13 (UTC)回复

“该定理不是一阶集合论内的定理，而是元定理”，但实际上一阶逻辑的语义就是需要集合的概念。手边可以严格化的方法就是仿一阶集合论的计数描述。所以你只有在元逻辑加入集合论公理跟相信一阶逻辑集合论的两条路可以选。但不管是哪种都会得到类似康托尔定理的结果。(先不论会不会在元逻辑导致矛盾)
Mendelson证明勒文海姆–斯科伦定理的过程是先将自洽理论扩展成含有可数个"封闭项"(没有变数的项)的scapegoat理论，扩展的过程为了确保scapegoat的性质，它将所有(可数个)满足scapegoat性质的公式提升为公理；然后完备自洽的scapegoat理论才能以可数的"封闭项集合"为论域造出一个"模型"。这样依照前面的扩展，任意自洽理论就会有一个可数论域的模型。

我的意思是将这个以这个构造法建构出的NBG模型是病态的，并非每个模型都是符合我们期待，所以对何谓"合法的理论模型"要做更严格的规定。我们不能因为病态模型的存在完全否定一阶集合论在其他模型成功解释实数性质的可能。(除非你能证明任何尝试描述least upper bound的一阶逻辑理论，其模型都是病态的)

“一阶语言模型只能对论域元素量化而不能对论域子集量化”先不说这到底有没一个元定理真的完全禁止这么做(我也不知道?)，但是NBG集合论的标准解释是一切视为类，然后集合是特殊的类。 Mendelson 后面也有提出包含"非集合对象"的NBG集合论(4.6.5章节)，这样前面least upper bound里的实数子集合和"一对一函数"都只是"身为集合"的论域元素，并不会触及论域子集量化。
Mendelson说的非标准分析，是在元逻辑的层次偷偷使用集合的概念，我们无法确保这样的直观集合概念和一阶的NBG集合公理会得出相同的结论。--C44986054（留言） 2021年11月15日 (一) 12:35 (UTC)回复
然后我真心怀疑，在元逻辑里采用一定的集合观念，会不会就是造成一阶逻辑语意解释上一些矛盾的原因?我个人看法是希望元逻辑仅仅是个描述符号组合代换、符号计数和归纳的规则系统，尽量不要触及以符号规则无法讨论的直观概念。比如说这篇

https://arxiv.org/abs/0912.2870

表明在元逻辑承认"集合的存在，也就是一阶逻辑解释的过程采用元逻辑内"函数"、"集合"、"有序对"等等的概念，会在论域的层次上推出类似罗素悖论的东西。而基于NBG集合论避开罗素悖论的方法是要求数学的讨论只能触及集合而非全部的"类"，这样得在元逻辑上面高架一个"元逻辑集合论"，但这个元逻辑集合论必须有量化(因为所谓的集合a定义是存在一个类使得类a属于这个类)，那这样就会有元逻辑量化跟逻辑量化蛋生鸡鸡生蛋的循环解释问题。--C44986054（留言） 2021年11月15日 (一) 13:02 (UTC)回复

@C44986054：“你只有在元逻辑加入集合论公理跟相信一阶逻辑集合论的两条路可以选”基本上是正确的，不过无需限制为“一阶逻辑集合论”。康托尔定理当然也是正确的。
“我们不能因为病态模型的存在完全否定一阶集合论在其他模型成功解释实数性质的可能”恕不认同。勒文海姆–斯科伦定理是证明了任何一阶理论（包括一阶集合论）都无法控制模型的大小，而因此无法描述实数系的性质，因为（用高阶逻辑刻划的）实数系的大小为 $2^{\aleph _{0}}$ ，这是实数系的（元）性质。结论应是：因为病态模型总存在，所以完全否定一阶理论（包括一阶集合论）唯一描述实数系性质的可能。
关于“你能证明任何尝试描述least upper bound的一阶逻辑理论，其模型都是病态”，勒文海姆–斯科伦定理的结论是任何尝试描述least upper bound property的一阶ordered field理论必有病态模型。同时，若你尝试从一阶set theoretic universe理论出发构造实数系，当然亦有病态模型（因为整个宇宙有可数模型，该宇宙中构造的实数系当然也是（外界认为的）可数集）。
“一阶语言模型只能对论域元素量化而不能对论域子集量化”是一阶语言中， $\forall$ 的interpretation的定义（Mendelson p.56–57中， $s$ 是denumerable sequence of objects of the domain，而非sequence of subsets of the domain）。认同阁下后半句：在集合论中“实数子集合和"一对一函数"都只是"身为集合"的论域元素，并不会触及论域子集量化。”
认同阁下总结“非标准分析是在元逻辑的层次偷偷使用集合的概念”。元逻辑中当然有集合概念。即使标准分析也是在元逻辑层次使用集合概念。
所以我等共识是条目中采用“No first-order theory, however, has the strength to uniquely describe a structure with an infinite domain, such as the natural numbers or the real line.”的类似说法即可？（后面阁下的“怀疑”似乎正确，不过与现时探讨的问题（条目如何写）距离较远，抱歉未克回复。）——HTinC23（留言） 2021年11月15日 (一) 15:13 (UTC)（2021年11月15日 (一) 15:17 (UTC)增补）回复
- “因为（用高阶逻辑刻划的）实数系...”这段我觉得不妥，你不能用完全不同的形式系统去评断另一个系统的优劣。优劣的评判应该是取决于语意和现实的对应程度。
- “勒文海姆–斯科伦定理的结论是...”不知道你说的是不是
https://plato.stanford.edu/entries/paradox-skolem/

2.4所说明的“So, the mere fact that R is countable doesn't, in any interesting sense, generate a paradoxical situation in which the set of all real numbers is also countable.”，这里也有提到这是因为"不是所有实数都在论域里"，所以才导致这个荒谬的结论。但是这也是"可数病态模型"不是所有的模型都长这样。
- “元逻辑中当然有集合概念”上面我有提到在元逻辑内引入集合概念所造成的矛盾
https://arxiv.org/abs/0912.2870

那这样在元逻辑下探讨"基数"的风险非常大。比如说直观集合论的康托尔悖论就有可能重现。
- “一阶语言模型只能对论域元素量化而不能对论域子集量化”好的，应该是我没会意过来。--C44986054（留言） 2021年11月15日 (一) 16:32 (UTC)--C44986054（留言） 2021年11月15日 (一) 17:07 (UTC)回复
  - @C44986054：现实的实数系就是那个同构意义下唯一的dedekind complete ordered field啊，当然可以评论一阶逻辑是否能够刻划现实的实数系。
  - https://plato.stanford.edu/entries/paradox-skolem/ 是由勒文海姆–斯科伦定理得来没错，完全同意这是因为"不是所有（现实的）实数都在论域里"，以及不是所有的模型都长这样。
  - 康托尔悖论就是链接内的“没有最大基数”吗？那的确是元逻辑的定理。元逻辑下探讨序数和基数是很正常的，教学上甚至有其可取之处，减少学生对于集合论内的形式可数与外界可数的混淆，比如先前引用的剑桥大学讲义或2005年同一课程的版本，便是如此编排：第一章讲命题逻辑，但之后第二章讲序数（包括哈特格斯引理“对任意集合 $X$ ，有不能单射到 $X$ 的序数”，某意义上比康托尔悖论更强，因为康托尔定理中的幂集 $2^{|A|}$ 不一定有良序，但哈特格斯数是序数），是用元逻辑，独立于任何形式系统讲的。一阶逻辑到第四章才定义，而集合论更是到第五章才讲。
  - 只读了https://arxiv.org/abs/0912.2870 第一页，但似乎其结论是元逻辑不能以某类一阶理论表达吧，如此就不算“元逻辑内引入集合概念所造成的矛盾”，只是“若元逻辑能在某一阶模型内表达，则会矛盾”，亦即“元逻辑不能在某一阶模型内表达”。——HTinC23（留言） 2021年11月15日 (一) 19:35 (UTC)（2021年11月15日 (一) 19:46 (UTC)增补）回复
    “现实的实数系就是那个同构意义下唯一的dedekind complete ordered field啊”阿你误会了，我是说高阶逻辑。不过你应该很坚持每个模型都必须要有"一样"的解释，才回这样去批评一阶逻辑，不过二阶逻辑标准语义有范畴性但无完备性；Henkin语义有完备性但没有范畴性，这样看来二阶逻辑也不是上上之选。所以我觉得用二阶集合论去批评一阶集合论是没有意义的。
    
    关于我贴的
    
    https://arxiv.org/abs/0912.2870
    
    你的说法也是一种可能，但这个论文并没有详尽的分析这个矛盾的来源。不过
    
    https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/u.osu.edu/dist/a/4597/files/2014/09/mccarty_tennant_jpl1987-1ncyai0.pdf
    
    这篇论文证明了如果采用一阶直觉主义逻辑版的ZF集合论，不管这个集合论有多强，勒文海姆–斯科伦定理都是不可证明的(所以"病态"论域也不可能存在)，也就是如果你相信直觉主义逻辑的话，导致矛盾的根源是一阶逻辑集合论本身公理"有问题"(没有符合他们的"构造主义")，导致的。另外再搭配Mendelson的indroduction的最后一段所述，直觉主义逻辑版的一阶集合论可以根本的避开罗素悖论，而不像普通一阶逻辑集合论要求只能讨论集合而非所有的类来消极地避开。或许直观主义逻辑是改善一阶逻辑的解方。
    
    关于要如何叙述"无法好好刻划实数"这点，我认为要把斯科伦悖论条目附上，类似于“普通的一阶逻辑的集合论(如策梅洛-弗兰克尔集合论)无法良好地描述集合基数；因为根据勒文海姆–斯科伦定理，可以构造出一种"病态"集合论模型，使理论上可数的集合在模型下"不可数"；更进一步地，可以如法炮制地构造出另种"病态"模型让实数系"可数"。这类的悖论被称为斯科伦悖论。但在一阶的直觉主义逻辑下，勒文海姆–斯科伦定理不可证明^[1]，故以一阶的直觉主义逻辑描述集合基数并不会有以上的问题。”--C44986054（留言） 2021年11月16日 (二) 16:05 (UTC)回复
    @C44986054：在下是认同“不能用完全不同的形式系统去评断另一个系统的优劣”的，抱歉在下先前说“高阶逻辑的实数系”用词不准确，该处“高阶逻辑”是想表达“一阶逻辑以外的逻辑”，而不论是否形式，所以是有意包含元逻辑在内的。
    
    在下不坚持每个模型都必须有一样的解释，也不清楚阁下认为在下如何“批评”一阶逻辑了⋯⋯在下强调的“一阶理论无法刻划大小”并非什么激烈的批评啊，而是很中立且数学上正确的评价，仅是陈述逻辑学的一种现象。数理逻辑当然是要研究不同系统有何不同，证到什么证不到什么等等。在下先前也已强调“一阶理论无法刻划大小”的含义应理解为与勒文海姆-斯科伦定理等同，不同的书中用此写法（或类似的写法），也仅是为了用一句直观的话总结定理的意义，绝无任何贬损之意。当然若阁下使用批评一词也是用其不带感情色彩的用法的话，则确实在下（和勒文海姆-斯科伦定理）都“批评”一阶逻辑了。
    
    条目可以提及斯科伦悖论。但在下认为不应写成“集合论无法良好地描述基数”，可以更具体（与勒文海姆–斯科伦定理更接近）写成“一阶理论不能控制其无穷模型的基数大小”。“集合论无法良好地描述基数”可能被错误理解为基数的理论不能embed在集合论中，但事实是基数的理论可以很好地embed在集合论中。如在下先前所说，条目主题是一阶理论，而不只是集合论此种一阶理论。一阶理论内一般（如theory of groups）没有形式定义的可数，多说反而可能会混淆读者。要表达“一阶理论不能控制其无穷模型的基数大小”，甚至可以考虑条目放更易明白的例子：theory of algebraically closed field of characteristic 2既有可数模型 $({\overline {\mathbb {F} _{2}}},+,\times )$ 又有不可数模型（某个transcendental degree $\aleph _{1}$ 的域）、theory of dense linear order就既有可数模型 $(\mathbb {Q} ,<)$ 又有不可数模型 $(\mathbb {R} ,<)$ 。同样，PA也既有可数模型又有不可数模型、实数系的一阶理论也是既有可数模型又有不可数模型、NBG集合论也是既有可数模型又有不可数模型⋯⋯
    
    后面“因为根据勒文海姆–斯科伦定理，可以构造出一种"病态"集合论模型，使理论上可数的集合在模型下"不可数"”一句在下完全认同，同时亦可以考虑改为“因为根据勒文海姆–斯科伦定理，可以构造出一种"病态"集合论模型，使整个模型可数，但模型内却会觉得自己有“不可数集””。后一句“更进一步地，可以如法炮制地构造出另种"病态"模型让实数系"可数"”在下认为不妥，因为如果论述的是集合论模型内的实数系在外界可数，固然正确，但又是同时提及形式上不可数与外界可数，可能混淆读者，不建议提及集合论模型内的实数系。“实数系的一阶理论也是既有可数模型又有不可数模型”已经足够病态了。
    
    “但在一阶的直觉主义逻辑下，勒文海姆–斯科伦定理不可证明”一句似乎没有可挑剔之处。“故以一阶的直觉主义逻辑描述集合基数并不会有以上的问题”又好像不妥了，因为前述的根本不属于什么问题或困难，只是一阶逻辑的一种现象？——HTinC23（留言） 2021年11月16日 (二) 22:19 (UTC)回复
    
    题外话，编写条目时请注意MOS:PUNCT，比如引号请用全形（“”或「」，系統會自動轉換），不要用" "，括号也是，半形括号一般只用于外文和数学式。若现条目有误用的半形符号是其他编辑遗留的，阁下也可以帮忙修正，十分感谢！——HTinC23（留言） 2021年11月16日 (二) 22:28 (UTC)回复
    那我将叙述改为：
    普通的一阶逻辑理论不能控制其无穷模型的基数大小，因为根据勒文海姆–斯科伦定理和康托尔定理，可以构造出一种(普通一阶逻辑的)"病态"集合论模型，使整个模型可数，但模型内却会觉得自己有“不可数集”。类似地，可以证明实数系的普通一阶理论既有可数模型又有不可数模型。这类的悖论被称为斯科伦悖论。但在一阶的直觉主义逻辑下，勒文海姆–斯科伦定理不可证明，故不会有以上之现象。
    
    这样可以吗?--C44986054（留言） 2021年11月17日 (三) 04:46 (UTC)回复
    @C44986054：抱歉迟覆，似乎没有问题。放入条目时请将前述来源一并放入ref，为最后一句添加脚注，感谢！——HTinC23（留言） 2021年11月20日 (六) 16:42 (UTC)回复
    好的!感谢您耐心地回复跟检查!辛苦您了!--C44986054（留言） 2021年11月21日 (日) 07:05 (UTC)回复

参考资料

^ Skolem's paradox and constructivism Charles McCarty & Neil Tennant

一阶逻辑的语义需要的集合概念所引起的问题

最新留言：在3年前发布2条留言2人参与讨论

@HTinC23：这是把上面还没讨论完的小话题独立出来。

一阶逻辑的模型需要＂集合＂的概念来描述论域，这导致了我们需要含量词的元语言，去描述一阶逻辑模型中的论域，但这个描述论域的元语言量词，又该如何解释呢?是不是又需要另一个＂量化语言＂描述呢?这样我们陷入了量词解释的无限循环。有没有个＂直接的语义＂跟现实对应而不用陷入这种循环呢？

另外去除语义学的一阶逻辑，其元逻辑实际上是不需要量词的，可以参考

https://math.stackexchange.com/questions/1592569/formalizing-the-meta-language-of-first-order-logic-and-studying-it-as-a-formal-s

p.s.另外我删掉了一个没看清楚你的叙述所造成的无意义话题~

---C44986054（留言） 2021年11月17日 (三) 10:12 (UTC)回复

@C44986054：有趣的问题⋯⋯在下一般不对使用元语言感到忧虑，即仅用元语言解释一阶语言，而不再解释元语言（这种做法至少在研究一般的数学是没有问题的，比如用元语言研究一阶逻辑）。读了阁下所引的stackexchange帖文，不过在下实在不了解此种“数学哲学”问题，恕无法给出有意义的回复。——HTinC23（留言） 2021年11月20日 (六) 16:54 (UTC)回复

手机版的bug

最新留言：在2个月前发布1条留言1人参与讨论

手机版的section无法折叠，该bug最早出现于2023年5月20日 (六) 09:07的修订，希望能寻找一下原因。--42 E Min（留言） 2024年9月14日 (六) 19:11 (UTC)回复

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[1] Skolem's paradox and constructivism Charles McCarty & Neil Tennant

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