PH (复杂度)

在计算复杂度理论内，复杂度类PH代表所有在多项式谱系里面的复杂度类联集，亦即：

${\mbox{PH}}=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }\Delta _{k}{\mbox{P}}$

PH最早是由Larry Stockmeyer定义，是一个受限交替式图灵机(bounded alternating Turing machine)其谱系(hierarchy)的特例。这个复杂度包含于P^PP(包含问题可以由多项式时间图灵机，并且能取用PP 神谕的机器所解决的复杂度类。), P^#P (根据Toda's theorem),以及PSPACE里面。

PH有一个简单的逻辑描述方法：PH是一个能以二阶逻辑所表示语言的集合。

PH包含了几乎所有在PSPACE里面有名的复杂度类;举例来说，像是P, NP，和co-NP。甚至还包含了一些概率复杂度类像是BPP和RP。然而，有一些证据指出BQP(以量子电脑可以在多项式时间之内解决的问题)并不包含在PH里面(Aaronson 2010).

P = NP当且仅当P = PH。这可能是一个比较简单证明P ≠ NP的方式，因为我们只要把P从比较广义的 PH分别出来即可。

参考资料

• Larry J. Stockmeyer, "The polynomial hierarchy", Theoretical Computer Science, Vol. 3 (1976), pp. 1–22.
• Scott Aaronson, BQP and the Polynomial Hierarchy, ACM STOC (2010), , Template:ECCC.
• Complexity Zoo: PH