非凸大斜方截半二十面体
在几何学中，非凸大斜方截半二十面体是一种非凸均匀多面体[5]，由62个面、120条边和60个顶点组成[6]，其索引为U67，对偶多面体为大筝形六十面体[2]，具有二十面体群对称性，[6][7]可以视为大十二面截半二十面体的刻面多面体。[8]在施莱夫利符号中，非凸大斜方截半二十面体可以表示为t0,2{5⁄3,3}或[1]:162[2]，在考克斯特—迪肯符号中可以表示为
，在威佐夫记号中可以表示为3 5⁄3 | 2[3][4][2]。
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| 类别 | 均匀星形多面体 | |||
|---|---|---|---|---|
| 对偶多面体 | 大筝形六十面体 | |||
| 识别 | ||||
| 名称 | 非凸大斜方截半二十面体 great rhombicosidodecahedron uniform great rhombicosidodecahedron nonconvex great rhombicosidodecahedron quasirhombicosidodecahedron | |||
| 参考索引 | U67, C84, W105 | |||
| 鲍尔斯缩写 | qrid | |||
| 数学表示法 | ||||
| 施莱夫利符号 | t0,2{5⁄3,3} [1]:162[2] | |||
| 威佐夫符号 | 3 5⁄3 | 2[3][4][2] | |||
| 性质 | ||||
| 面 | 62 | |||
| 边 | 120 | |||
| 顶点 | 60 | |||
| 欧拉特征数 | F=62, E=120, V=60 （χ=2） | |||
| 组成与布局 | ||||
| 面的种类 | 20个正三角形 30个正方形 12个正五角星 | |||
| 顶点图 | 3.4.5/3.4 | |||
| 对称性 | ||||
| 对称群 | Ih, [5,3], *532 | |||
| 图像 | ||||
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非凸大斜方截半二十面体与小斜方截半二十面体拓朴同构[8]，其骨架图在拓朴学上是等价的[9]。
这个多面体与凸大斜方截半二十面体同名。
性质
编辑非凸大斜方截半二十面体共有62个面、120条边和60个顶点。[6]在其62个面中，有20个正三角形、30个正方形和12个正五角星[5]:134[10][11]，在这些面中，共有12个非凸面和12个自相交面[4]。若排除互相相交与自相交面，作为一个简单多面体则其外部面共有980个。[12]
非凸大斜方截半二十面体的欧拉示性数为：
- V-E+F = 60 - 120 + (20+12+30) = 2
因此这个多面体同胚于球体。[10]
其60个顶点每个顶点都是2个正方形、一个五角星和一个正三角形的公共顶点，并依照五角星、正方形、三角形、正方形的顺序在顶点周围来列，并形成了一个交叉四边形，在顶点图中，这样的顶角可以用[5/3,4,3,4]或来表示[8]
二面角
编辑非凸大斜方截半二十面体有两种二面角，分别为正方形面与三角形面的二面角以及正方形与五角星的二面角。
正方形与五角星的二面角约为58.28度[8]或视为反向相接的301.71747度[13]：
尺寸
编辑若非凸大斜方截半二十面体的边长为单位长，则其外接球半径为：[14]:1250[2]
分类
编辑非凸大斜方截半二十面体的顶点图为交叉梯形且具备点可递的特性，同时，其存在自相交的面，因此非凸大斜方截半二十面体是一种自相交拟拟正多面体（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）。自相交拟拟正多面体一共有12种[15]，除了小双三角十二面截半二十面体外，其余由阿尔伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）于1881年发现并描述。[16]
 小立方立方八面体 |
 大立方截半立方体 |
 非凸大斜方截半立方体 |
 小十二面截半二十面体 |
 大十二面截半二十面体 |
 小双三角十二面截半二十面体 |
 大双三角十二面截半二十面体 |
 二十面化截半大十二面体 |
 小二十面化截半二十面体 |
 大二十面化截半二十面体 |
 斜方截半大十二面体 |
非凸大斜方截半二十面体 |
相关多面体
编辑非凸大斜方截半二十面体与截角大十二面体以及6和12复合五角柱共用相同的顶点布局。同时，其亦与大十二面截半二十面体和大斜方十二面体共用相同的边布局。[8]
| 非凸大斜方截半二十面体 |
大十二面截半二十面体 |
 大斜方十二面体 |
 截角大十二面体 |
 六复合五角柱 |
 十二复合五角柱 |
参见
编辑参考文献
编辑- ^ 1.0 1.1 Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容存档于2021-08-31）.
- ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Weisstein, Eric W. (编). Uniform Great Rhombicosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ 3.0 3.1 George W. Hart. Uniform Polyhedra. 1996 [2022-07-27]. （原始内容存档于2018-09-19）.
- ^ 4.0 4.1 4.2 Vladimir Bulatov. great rhombicosidodecahedron. Polyhedra Collection. [2022-07-27]. （原始内容存档于2021-02-28）.
- ^ 5.0 5.1 Gorini, C.A. The Facts on File Geometry Handbook. Facts on File science library. Facts On File, Incorporated. 2003 [2022-07-27]. ISBN 9781438109572. （原始内容存档于2022-07-27）.
- ^ 6.0 6.1 6.2 Maeder, Roman. 67: great rhombicosidodecahedron. MathConsult. [2022-07-27]. （原始内容存档于2020-02-17）.
- ^ Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #72. harel.org.il. [2022-07-27]. （原始内容存档于2021-10-22）.
- ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 Richard Klitzing. qrid, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-07-27]. （原始内容存档于2021-09-21）.
- ^ B. D. S. “DON” MCCONNELL. Spectral Realizations of Graphs (PDF). daylateanddollarshort.com. [2022-07-27]. （原始内容 (PDF)存档于2022-04-06）.
- ^ 10.0 10.1 David A. Richter. Great Dirhombicosidodecahedron. wmich.edu. [2022-07-27]. （原始内容存档于2018-10-18）.
- ^ Polyhedron Category 4: Trapeziverts. polytope.net. （原始内容存档于2021-10-19）.
- ^ Robert Webb. Great Rhombicosidodecahedron. software3d.com. [2022-07-30]. （原始内容存档于2022-08-22）.
- ^ 13.0 13.1 David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra: Uniform Great Rhombicosidodecahedron. [2022-07-27]. （原始内容存档于2018-05-04）.
- ^ Weisstein, E.W. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press. 2002. ISBN 9781420035223.[失效链接]
- ^ David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra. [2022-07-31]. （原始内容存档于2022-08-22）.
- ^ Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47–172.